1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．

　第Ⅰ卷(选择题共68分) 注意事项：

　1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

　一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

　(1)函数f (x)=sinx+cosx的最小正周期是 (

　) (A) 2π (B)

　(C) π (D)

　(2)如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D) 2 (3)和直线3x－4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 (

　) (A) 3x+4y－5=0 (B) 3x+4y+5=0 (C) －3x+4y－5=0 (D) －3x+4y+5=0 (4)极坐标方程所表示的曲线是 (

　) (A) 焦点到准线距离为的椭圆 (B) 焦点到准线距离为的双曲线右支 (C) 焦点到准线距离为的椭圆 (D) 焦点到准线距离为的双曲线右支 (5)在[－1，1]上是 (

　) (A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数 (D) 减函数且是偶函数 (6)的值为 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　(7) 集合，则 (

　) (A) M=N (B)

　(C)

　(D) Ø (8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　(9)参数方程 表示 (

　) (A) 双曲线的一支，这支过点 (B) 抛物线的一部分，这部分过 (C) 双曲线的一支，这支过点 (D) 抛物线的一部分，这部分过 (10)若a、b是任意实数，且a>b，则

　(

　) (A) a2>b2 (B)

　(C) lg(a－b)>0 (D)

　(11)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为 (

　) (A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线的一支 (D) 抛物线 (12)圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　(13)(+1)4(x－1)5展开式中x4的系数为 (

　) (A) －40 (B) 10 (C) 40 (D) 45 (14)直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π，则旋转体的体积为 (

　) (A) 2π (B)

　(C)

　(D)

　(15)已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则 (

　) (A) a1+ a8> a4+ a5 (B) a1+ a8< a4+ a5 (C) a1+ a8= a4+ a5 (D) a1+ a8和a4+ a5的大小关系不能由已知条件确定 (16)设有如下三个命题：

　甲：相交两直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内． 乙：l，m之中至少有一条与β相交． 丙：α与β相交． 当甲成立时 (

　) (A) 乙是丙的充分而不必要的条件 (B) 乙是丙的必要而不充分的条件 (C) 乙是丙的充分且必要的条件 (D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 (17)将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 (

　) (A) 6种 (B) 9种 (C) 11种 (D) 23种

　第Ⅱ卷(非选择题共82分) 注意事项：

　1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

　二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． (18)= ________________ (19)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________________ (20)从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有______________种取法(用数字作答)． (21)设f (x)=4x－2x+1，则f－1(0)=_____________

　(22)建造一个容积为8m3 ，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元 (23)如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为__________度

　 三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤． (24)(本小题满分10分) 已知f (x)=loga(a>0，a≠1)． (Ⅰ)求f (x)的定义域； (Ⅱ)判断f (x)的奇偶性并予以证明； (Ⅲ)求使f (x)>0的x取值范围． (25)(本小题满分12分) 已知数列 Sn为其前n项和．计算得

　 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明． (26)(本小题满分12分) 已知：平面α∩平面β=直线a． α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b． 求证：(Ⅰ)a⊥γ； (Ⅱ)b⊥γ． (27)(本小题满分12分) 在面积为1的△PMN中，tg∠PMN=，tg∠MNP=－2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程． (28)(本小题满分12分) 设复数，，并且，，求θ．

　1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

　说明：

　1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

　一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分． (1)A

　(2)C

　(3)B

　(4)B

　(5)A

　(6)D

　(7)C

　(8)A

　(9)B

　(10)D

　(11)C

　(12)A

　(13)D

　(14)D

　(15)A

　(16)C

　(17)B

　二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． (18)

　(19){k||k|>}

　(20)100

　(21)1

　(22)1760

　(23)30

　三、解答题 (24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分． 解

　(Ⅰ)由对数函数的定义知．

　 ——1分 如果，则－1<x<1； 如果，则不等式组无解．

　——4分 故f (x)的定义域为(－1，1) (Ⅱ) ∵ ， ∴ f (x)为奇函数．

　——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a>1，loga等价于 ，

　① 而从(Ⅰ)知1－x>0，故①等价于1+x>1－x，又等价于x>0．故对a>1，当x∈(0，1)时有f(x)>0．

　——9分 (ⅱ)对0<a<1，loga等价于 0<．

　② 而从(Ⅰ)知1－x>0，故②等价于－1<x<0．故对0<a<1，当x∈(－1，0)时有f(x)>0．

　——12分 (25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分． 解

　．

　 ——4分 证明如下：

　(Ⅰ)当n=1时，，等式成立．

　——6分 (Ⅱ)设当n=k时等式成立，即

　 ——7分 则

　 由此可知，当n=k+1时等式也成立．

　 ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n∈N都成立．

　 ——10分 (26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分． 证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．

　 ——1分 ∵ γ⊥α， ∴ PM⊥α． 而

　aα， ∴ PM⊥a． 同理PN⊥a．

　——4分 又

　PMγ，PNγ， ∴ a⊥γ．

　——6分 (Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．

　——7分 ∵ b∥α，∴ b∥a1． 同理b∥a2．

　 ——8分 ∵ a1，a2同过Q且平行于b， ∵ a1，a2重合． 又

　a1α，a2β， ∴ a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．

　 ——10分 ∵ b∥a1，∴ b∥a． 而a⊥γ， ∴ b⊥γ．

　 ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分． 证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．

　——1分 ∵ α⊥γ，P∈α， ∴ a′α． 同理a′β．

　——3分 可见a′是α，β的交线． 因而a′重合于a．

　 ——5分 又

　a′⊥γ， ∴ a⊥γ．

　——6分 (Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．

　——7分 ∵ b∥α，b∥β． ∴ b∥c，b∥d．

　——8分 又

　cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d． 于是c∥β．

　——9分 ∵ c∥β，cα，α∩β=a， ∴ c∥a．

　 ——10分 ∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)， ∴ b∥a．

　——11分 而 a⊥γ， ∴ b⊥γ．

　 ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分． (27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分． 解法一如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M (－c，0)，N (c，0)．

　—1分 由tgM=，tgα=tg(π－∠MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x－c)．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为(c，c)．

　 ——5分 在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故

　由题设条件S△MNP=1，∴ c=，即P点坐标为．

　——7分 由两点间的距离公式 ， ．

　得 ．

　——10分 又

　b2=a2－c2=，故所求椭圆方程为

　 ．

　——12分 解法二同解法一得，P点的坐标为．

　——7分 ∵ 点P在椭圆上，且a2=b2+c2． ∴ ． 化简得3b4－8b2－3=0． 解得b2=3，或b2= (舍去)．

　——10分 又 a2=b2+c2=3+． 故所求椭圆方程为．

　 ——12分 解法三同解法一建立坐标系．

　 ——1分 ∵ ∠P=∠α－∠PMN， ∴ ． ∴ ∠P为锐角． ∴ sinP=，cosP=． 而 S△MNP=|PM|·|PN|sinP=1，∴ |PM|·|PN|=．

　——4分 ∵ |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c，由余弦定理， (2c)2=|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP =(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP) =(2a)2－2·－2··， ∴ c2=a2－3，即b2=3．

　——7分 又 sinM=，sinN=，由正弦定理， ， ∴ ． 即

　， ∴ a=c．

　 ——10分 ∴ a2=b2+c2=3+． ∴ a2=． 故所求椭圆方程为．

　 ——12分 (28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一

　 ——2分

　．

　——5分

　．

　——6分 因，故有 (ⅰ)当时，得或，这时都有 ， 得，适合题意．

　——10分 (ⅱ)当时，得或，这时都有 ， 得，不适合题意，舍去． 综合(ⅰ)、(ⅱ)知或．

　——2分 解法二 ． 记，得． ．

　 ——2分

　．

　——5分 ∵ ，， ①

　②

　③ ∴

　 ——8分 当①成立时，②恒成立，所以应满足 (ⅰ) ，或(ⅱ) ，

　——10分 解(ⅰ)得或．(ⅱ)无解． 综合(ⅰ)、(ⅱ) 或．

　 ——12分