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中考冲刺:代几综合问题(基础)
2020-07-25 10:07:39 ℃中考冲刺:代几综合问题(基础) 一、选择题 1.(2017•河北一模)如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,设点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) A. B. C.D. 2. 如图,在半径为1的⊙O中,直径AB把⊙O分成上、下两个半圆,点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合),过点C作弦CD⊥AB,垂足为E,∠OCD的平分线交⊙O于点P,设CE=x,AP=y,下列图象中,最能刻画y与x的函数关系的图象是( ) 二、填空题 3. 将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图象如图所示,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足的条件的t的值,则t=______. 4. (2017•宝山区一模)如图,D为直角△ABC的斜边AB上一点,DE⊥AB交AC于E,如果△AED沿DE翻折,A恰好与B重合,联结CD交BE于F,如果AC=8,tanA=,那么CF:DF=______. 三、解答题 5. 一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点(算第一层)、第二层每边有两个点,第三层每边有三个点……依次类推. (1)试写出第n层所对应的点数;
(2)试写出n层六边形点阵的总点数;
(3)如果一个六边形点阵共有169个点,那么它一共有几层? 6. 如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10cm,BC=6cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以2cm/s的速度,沿AB向终点B移动;
点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动,其中一点到终点,另一点也随之停止.连接PQ.设动点运动时间为x秒. (1)用含x的代数式表示BQ、PB的长度;
(2)当x为何值时,△PBQ为等腰三角形;
(3)是否存在x的值,使得四边形APQC的面积等于20cm2?若存在,请求出此时x的值;
若不存在,请说明理由 7. 阅读理解:对于任意正实数a、b,∵ 结论:在a+b≥2(a、b均为正实数)中,若a.b为定值p,则a+b≥2 ,只有当a=b时,a+b有最小值2 根据上述内容,回答下列问题:
(1)若m>0,只有当m=____________时,m+有最小值,最小值为____________;
(2)探究应用:已知A(-3,0)、B(0,-4),点P为双曲线y=(x>0)上的任一点,过点P作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,求四边形ABCD面积的最小值,并说明此时四边形ABCD的形状. 8. (深圳期末)如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+3与坐标轴分别交于A、B两点,直线x=1交AB于点D,交x轴于点E,P是直线x=1上一动点. (1)直接写出A、B的坐标;
A______,B______;
(2)是否存在点P,使得△AOP的周长最小?若存在,请求出周长的最小值;
若不存在,请说明理由. (3)是否存在点P使得△ABP是等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;
若不存在,请说明理由. 9.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4,). (1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找到点M,使得M到D、B的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2). ①求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S=时,在抛物线上存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐标. 10.已知:抛物线y=-x2+2x+m-2交y轴于点A(0,2m-7).与直线y=x交于点B、C(B在右、C在左). (1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为E,在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得,若存在,求出点F的坐标,若不存在,说明理由;
(3)射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发,分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动,以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ(直角边分别平行于坐标轴),设运动时间为t秒,若△PMQ与抛物线y=-x2+2x+m-2有公共点,求t的取值范围. 11. 在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-3,0)、B(4,0)两点,且与y轴交于点C,点D在x轴的负半轴上,且BD=BC,有一动点P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动,同时另一个动点Q从点C出发,沿线段CA以某一速度向点A移动. (1)求该抛物线的解析式;
(2)若经过t秒的移动,线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值;
(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MA的值最小?若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由. 答案与解析 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A. 【解析】作AD∥x轴,作CD⊥AD于点D,若右图所示, 由已知可得,OB=x,OA=1,∠AOB=90°,∠BAC=90°,AB=AC,点C的纵坐标是y, ∵AD∥x轴,∴∠DAO+∠AOD=180°,∴∠DAO=90°, ∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°,∴∠OAB=∠DAC, 在△OAB和△DAC中, , ∴△OAB≌△DAC(AAS), ∴OB=CD,∴CD=x, ∵点C到x轴的距离为y,点D到x轴的距离等于点A到x的距离1, ∴y=x+1(x>0). 故选A. 2.【答案】A. 【解析】 解:连接OP, ∵OC=OP, ∴∠OCP=∠OPC. ∵∠OCP=∠DCP,CD⊥AB, ∴∠OPC=∠DCP. ∴OP∥CD. ∴PO⊥AB. ∵OA=OP=1, ∴AP=y=(0<x<1). 故选 A. 二、填空题 3. 【答案】1或3或;
【解析】 解:∵抛物线y1=2x2向右平移2个单位, ∴抛物线y2的函数解析式为y=2(x-2)2=2x2-8x+8, ∴抛物线y2的对称轴为直线x=2, ∵直线x=t与直线y=x、抛物线y2交于点A、B, ∴点A的坐标为(t,t),点B的坐标为(t,2t2-8t+8), ∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|,AP=|t-2|, ∵△APB是以点A或B为直角顶点的等腰三角形, ∴|2t2-9t+8|=|t-2|, ∴2t2-9t+8=t-2 ① 2t2-9t+8=-(t-2) ②, 整理 ①得,t2-5t+5=0, 解得 整理 ②得,t2-4t+3=0, 解得 t1=1,t2=3, 综上所述,满足条件的 t值为:1或3或. 故答案为:
1或3或. 4. 【答案】6:5. 【解析】∵DE⊥AB,tanA═,∴DE=AD, ∵Rt△ABC中,AC═8,tanA═, ∴BC=4,AB==4, 又∵△AED沿DE翻折,A恰好与B重合, ∴AD=BD=2,DE=, ∴Rt△ADE中,AE==5,∴CE=8﹣5=3, ∴Rt△BCE中,BE==5, 如图,过点C作CG⊥BE于G,作DH⊥BE于H,则 Rt△BDE中,DH==2, Rt△BCE中,CG==, ∵CG∥DH,∴△CFG∽△DFH, ∴===. 故答案为:6:5. 三、解答题 5. 【答案与解析】 解:(1)第n层上的点数为6(n-1)(n≥2). (2)n层六边形点阵的总点数为=1+6+12+18+…+6(n-1)=1+=3n(n-1)+1. (3)令3n(n-1)+1=169,得n=8.所以,它一共是有8层. 6. 【答案与解析】 解:
(1)∵∠B=90°,AC=10,BC=6, ∴AB=8. ∴BQ=x,PB=8-2x;
(2)由题意,得 8-2x=x, ∴x=. ∴当x=时,△PBQ为等腰三角形;
(3)假设存在x的值,使得四边形APQC的面积等于20cm2, 则 , 解得 x1=x2=2. 假设成立,所以当 x=2时,四边形APQC面积的面积等于20cm2. 7. 【答案与解析】 解:
(1)1,2;
(2)探索应用:设P(x,),则C(x,0),D(0,), ∴CA=x+3,DB=+4, ∴S四边形ABCD=CA×DB=(x+3) ×(+4), 化简得:S=2(x+)+12, ∵x>0, >0,∴x+≥2=6,只有当x=时,即x=3,等号成立. ∴S≥2×6+12=24, ∴S四边形ABCD有最小值是24. 此时,P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5, ∴四边形是菱形. 8. 【答案与解析】 解:(1)当x=0时,y=3.即A 点坐标是(0,3), 当y=0时,﹣x+3=0,解得x=4,即B点坐标是(4,0);
(2)存在这样的P,使得△AOP周长最小 作点O关于直线x=1的对称点M, M点坐标(2,0)连接AM交直线x=1于点P, 由勾股定理,得AM=== 由对称性可知OP=MP,C△AOP=AO+OP+AP=AO+MP+AP=AO+AM=3+;
(3)设P点坐标为(1,a), ①当AP=BP时,两边平方得,AP2=BP2,12+(a﹣3)2=(1﹣4)2+a2. 化简,得6a=1. 解得a=.即P1(1,);
②当AP=AB=5时,两边平方得,AP2=AB2,12+(a﹣3)2=52. 化简,得a2﹣6a﹣15=0. 解得a=3±2,即P2(1,3+2),P3(1,3﹣2);
③当BP=AB=5时,两边平方得,BP2=AB2,即(1﹣4)2+a2=52. 化简,得a2=16. 解得a=±4,即P4(1,4),P5(1,﹣4). 综上所述:P1(1,);
P2(1,3+2),P3(1,3﹣2);
P4(1,4),P5(1,﹣4). 9. 【答案与解析】 解:
(1)据题意可知:A(0,2),B(2,2),C(2,0). ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4,), ∴, ∴, ∴y=﹣x2+x+2;
(2)点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A.连接AD,与对称轴的交点即为M. ∵A(0,2)、D(4,), ∴直线AD的解析式为:y=﹣x+2, 当x=1时,y=, 则M(1,);
(3)①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,AP=2t, ∵在Rt△PBQ中,∠B=90°, ∴S=PQ2=PB2+BQ2, ∴=(2﹣2t)2+t2, 即S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1). ②当S=时,=5t2﹣8t+4 即20t2﹣32t+11=0, 解得:t=,t=>1(舍) ∴P(1,2),Q(2,). PB=1. 若R点存在,分情况讨论:
(i)假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB, RQ∥PB, 则R的横坐标为3,R的纵坐标为,即R(3,),代入y=﹣x2+x+2,左右两边相等, 故这时存在R(3,)满足题意;
(ii)假设R在PB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB, 则R(1,)代入y=﹣x2+x+2,左右两边不相等, 则R不在抛物线上 综上所述,存点一点R,以点P、B、Q、R为顶点的四边形只能是口PQRB. 则R(3,). 此时,点R(3,)在抛物线=-x2+x+2上. 10. 【答案与解析】 解:
(1)点A(0,2m﹣7)代入y=﹣x2+2x+m﹣2, m﹣2=2m﹣7, 解得:m=5 故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,由, 得, ∴B(,2),C(﹣,﹣2)B(,2), 关于抛物线对称轴x=1的对称点为B′(2﹣,2), 将B′,C代入y=kx+b,得:
, 解得:, 可得直线B'C的解析式为:, 由,可得, 故当F(1,6)使得∠BFE=∠CFE;
(3)如图2,当t秒时,P点横坐标为﹣t,则纵坐标为﹣2t,则M(﹣2t,﹣2t)在抛物线上时, 可得﹣(﹣2t) 2﹣4t+3=﹣2t,整理得出:4t2+2t﹣3=0, 解得:, 当P(﹣t,﹣2t)在抛物线上时,可得﹣t2﹣2t+3=﹣2t,整理得出:t2=3, 解得:,舍去负值, 所以若△PMQ与抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2有公共点t的取值范围是. 11.【答案与解析】 解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+4经过A(﹣3,0),B(4,0)两点, ∴,解得, ∴所求抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;
(2)如图1,依题意知AP=t,连接DQ, ∵A(﹣3,0),B(4,0),C(0,4), ∴AC=5,BC=4,AB=7. ∵BD=BC, ∴AD=AB﹣BD=7﹣4, ∵CD垂直平分PQ, ∴QD=DP,∠CDQ=∠CDP. ∵BD=BC, ∴∠DCB=∠CDB. ∴∠CDQ=∠DCB. ∴DQ∥BC. ∴△ADQ∽△ABC. ∴=, ∴=, ∴=, 解得DP=4﹣, ∴AP=AD+DP=. ∴线段PQ被CD垂直平分时,t的值为;
(3)如图2,设抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E.点A、B关于对称轴x=对称, 连接BQ交该对称轴于点M. 则MQ+MA=MQ+MB,即MQ+MA=BQ, ∵当BQ⊥AC时,BQ最小,此时,∠EBM=∠ACO, ∴tan∠EBM=tan∠ACO=, ∴=, ∴=,解ME=. ∴M(,),即在抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴上存在一点M(,),使得MQ+MA的值最小.
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