2020年高考必刷卷09 数学（文） （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 解指数不等式求得集合，由此求得 【详解】 由，解得，即，所以. 故选：B. 【点睛】 本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查指数不等式的解法，属于基础题. 2．已知均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A．若则为实数 B．若，则为纯虚数 C．若，则为纯虚数 D．若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案. 【详解】 由题意，设复数， 对于A中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A正确；

对于B中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是正确的；

对于C中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确；

对于D中，由，可得，即，解得或， 所以，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且。所以，应选答案B。

4．如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是 A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省 B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长 C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元 D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 【答案】D 【解析】 【分析】 解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息。

【详解】 对于A，从折线统计图可得，2018年第一季度GDP增速由高到低排位依次为江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故浙江省排在第五， 对于B，从折线统计图可得，与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长率都为正值，所以与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长， 对于C，根据统计图可计算2017年同期河南省的GDP总量为，所以2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元， 对于D, 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个，江苏、河南， 综述只有D选项不正确， 故答案选D 【点睛】 本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题 5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：正视图、侧视图、俯视图分别是三角形、三角形、四边形可判断该几何体为四棱锥，且有条侧棱垂直于底面，还原几何体，如图所示，. 考点：1、三视图；
2、几何体的侧面积. 6．已知平面向量，，，，在下列命题中：①存在唯一的实数，使得；
②为单位向量，且，则；
③；
④与共线，与共线，则与共线；
⑤若且，则.正确命题的序号是( ) A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③ 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。

【详解】 当为零向量时不满足，①错；
当为零向量时④错，对于⑤：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，与有可能夹角不一样或者的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D 【点睛】 本题主要考查了向量的共线，零向量。属于基础题。

7．已知函数的最小正周期为，且，有成立，则图象的一个对称中心坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的对称中心. 【详解】 由的最小正周期为，得， 因为恒成立，所以，即， 由，得，故， 令，得， 故图象的对称中心为， 当时，图象的对称中心为. 故选：A. 【点睛】 本题考查的知识要点：正弦型函数的性质、周期性和对称中心的应用及相关的运算问题，属于基础题. 8．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的值为 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据程序框图逐步进行模拟运算即可． 【详解】 ，不满足，是奇数满足，，， ，不满足，是奇数不满足，，， ，不满足，是奇数满足，，， ，不满足，是奇数不满足，，， ，不满足，是奇数不满足，，， ，不满足，. 是奇数不满足，，， ，不满足，是奇数不满足，，， ，满足，输出，故选A． 【点睛】 本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键，属于基础题． 9．一个椭圆中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且、、成等差数列，则椭圆方程为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由于，，成等差数列，及是椭圆上的一点，可得，即可得到，又是椭圆上一点，利用待定系数法即可． 【详解】 解：，，成等差数列，是椭圆上的一点， ，． 设椭圆方程为，则 解得，，． 故椭圆的方程为． 故选：． 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程与性质，考查待定系数法的运用，正确设出椭圆的方程是关键． 10．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分析：设正方形边长为，由几何概型概率的计算公式，即可求解取自黑色部分的概率． 此点取自黑色部分的概率是，故选B. 详解：设正方形边长为，则由几何概型概率的计算公式得， 此点取自黑色部分的概率是，故选B. 点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算. 11．在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，，则四面体的体积　　 A．与，都有关 B．与，都无关 C．与有关，与无关 D．与有关，与无关 【答案】B 【解析】 【分析】 连接，，，，，，然后利用等积法说明四面体的体积是与，无关的定值． 【详解】 解：如图， 平面，到平面的距离为定值， ，到直线的距离为定值， 的面积为定值． ， 四面体的体积是与，无关的定值． 故选：． 【点睛】 本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 12．已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 因为函数,可得,要保证不等式恒成立,只需保证函数的图像恒不在函数图像的下方画出函数的图像,数形结合,即可求得答案. 【详解】 函数 要保证不等式恒成立 只需保证函数的图像恒不在函数图像的下方 画出函数的图像,如图所示, 函数表示过定点的直线, 结合图像可知: 当时,不满足题意, 当时,满足题意, 当时,考查如图所示的临界条件,即直线与二次函数相切, ,设切点坐标为,切线的斜率为, 则切线方程过点, 即:, 数形结合可知,故,此时切线的斜率, 故实数的取值范围为, 故选:D. 【点睛】 本题考查了含参数一元二次不等式恒成立问题,解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和数形结合,注意分类讨论思想的应用,考查了转化能力和计算能力. 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．已知动点符合条件，则范围为__． 【答案】． 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，设，利用的几何意义即可得到结论． 【详解】 解：设，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：
由解得， 由图象可知，或． 的取值范围：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了简单线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域以及理解目标函数的几何意义，属于基础题． 14．已知，，则___________；

【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式，先求出，再根据的范围，判断符号，即可求解. 【详解】 ， . 故答案为: 【点睛】 本题考查三角函数求值问题，熟记公式是解题关键，属于基础题。

15．已知数列满足)， ,则数列中最大项的值是__________． 【答案】 【解析】依题意有，当时， 为，当时， ，即，也即，所以， ，所以， ，当时， ，所以最大项为. 点睛：本题主要考查数列已知求的方法，考查递推数列求通项的配凑法，考查数列的最大项的求解方法.首先根据题目所给与的关系，利用，然后利用配凑成等比数列的方法，求出的通项公式，代入后先求得前几项的值，然后利用函数的单调性来解决最值问题. 16．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】 运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式可得结果． 【详解】 ，可得，在中，，， 在直角三角形中，， 可得，， 取左焦点，连接 ，可得四边形为矩形， ， ，故答案为． 【点睛】 本题考查双曲线的离心率的求法以及双曲线的应用，属于中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；
（2）若，，求的周长. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】 试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；
（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 考点：正余弦定理解三角形. 18．如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且. （1）求证：平面平面ABC；

（2）求点D到平面CEF的距离. 【答案】（1）证明见解析；
（2）. 【解析】 【分析】 （1）取BC的中点G，连接AG，DG，可证平面DAG，可得，再由，，可证，可得平面ABC，即可证明结论；

（2）由条件可得点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离，求出三棱锥的体积和的面积，用等体积法，即可求解. 【详解】 （1）如图，取BC的中点G，连接AG，DG， 因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以平面DAG，所以. 因为E，F分别为DB，AB的中点，所以. 因为，即，则. 又因为，所以平面ABC， 又因为平面DAB，所以平面平面ABC. （2）因为点E为DB的中点，所以点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离. 设点D到平面CEF的距离为h， 因为，又因为平面ABC，所以， 在中，.所以， 在中，，所以， 又因为， 所以，而， 则. 所以点D到平面CEF的距离为. 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，空间中的垂直关系的转换是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题. 19．由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“满意”的观众的概率为0.15． （1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少；

（2）在（1）的条件下，从抽取到“满意”的人中随机抽取2人，设“抽到的观众来自不同的地区”为事件，求事件的概率；

（3）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系． 附：参考公式：. 【答案】（1）2人，3人；
（2）；
（3）没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系 【解析】 【分析】 （1）先利用已知条件可得，再结合分层抽样，按比例取样即可得解；

（2）由古典概型的概率的求法，分别求出从地区抽取2人包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，再求解即可；

（3）先利用，求出，然后得出结论即可. 【详解】 解：（1）由题意，得：，解得， 地抽取人，地抽取人． （2）从地区抽取到2人，记为,从地区抽取到3人，记为,随机抽取2人， 所有的基本事件为共有10种情况，事件包含的基本事件有共6种情况，所以. （3）完成表格如下：
非常满意 满意 合计 35 10 45 40 15 55 合计 75 25 100 ， 故没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系． 【点睛】 本题考查了分层抽样及古典概型的概率的求法，重点考查了独立性检验，属基础题. 20．已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；

（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点. 【答案】（1）；
（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；
（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点. 【详解】 （1）设动圆P的半径为r， 因为动圆P与圆M外切，所以， 因为动圆P与圆N内切，所以， 则， 由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆， 设椭圆方程为，则，，故， 所以曲线C的方程为. （2）①当直线l斜率存在时，设直线，， 联立，得， 设点，则， ， 所以， 即，得. 则， 因为，所以.即， 直线， 所以直线l过定点. ②当直线l斜率不存在时，设直线，且， 则点 ，解得， 所以直线也过定点. 综上所述，直线l过定点. 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题. 21．已知函数为反比例函数,曲线在处的切线方程为. （1）求的解析式; （2）判断函数在区间内的零点的个数,并证明. 【答案】（1）；

（2）函数在上有3个零点. 【解析】 【分析】 (1)设,则,直线的斜率为,过点,,所以,,即可求得的解析式; (2)函数在上有个零点.因为,则,根据函数的单调性和结合已知条件,即可求得答案. 【详解】 (1)设,则, 直线的斜率为,过点 ,则, , . (2)函数在上有个零点. 证明: 则 又 在上至少有一个零点, 又在上单调递减,故在上只有一个零点, 当时,,故, 所以函数在上无零点. 当时,令, 在上单调递增,, ,使得在上单调递增,在上单调递减. 又,函数在上有2个零点. 综上所述,函数在上有3个零点. 【点睛】 本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程和求解函数的零点个数,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. （二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C：(α为参数)和定点A(0,)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线AF2的极坐标方程；

(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值． 【答案】（1）ρcosθ＋ρsinθ＝;（2）. 【解析】 【分析】 （1）先将曲线C参数方程化为普通方程，求出F2点坐标，进而求出直线AF2的直角坐标方程，再化为极坐标方程；

（2）根据条件求出具有几何意义的直线l参数方程，代入曲线C的普通方程，运用韦达定理和直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】 (1)曲线C：可化为， 故曲线C为椭圆，则焦点F1(－1，0)，F2(1，0)． 所以经过点A(0，)和F2(1，0)的直线AF2的方程为x＋＝1，即x＋y-＝0， 所以直线AF2的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝. (2)由(1)知，直线AF2的斜率为-，因为l⊥AF2， 所以直线l的斜率为，即倾斜角为30°， 所以直线l的参数方程为(t为参数)， 代入椭圆C的方程中，得13t2－t－36＝0. 因为点M，N在点F1的两侧， 所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝. 【点睛】 本题考查普通方程化参数方程、直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题. 23．选修4-5：不等式选讲 已知a，b均为正数，且a＋b＝1，证明：
(1)(ax＋by)2≤ax2＋by2；

(2)＋≥. 【答案】（1）见解析；
（2）见解析． 【解析】 试题分析：
（1）可用作差法，得，利用，上式可化为，从而可证得结论；

（2）此不等式证明关键是湊出基本不等式的形式，同时要注意几个不等式同时取等号的情形，，展开后再由基本不等式可证． 试题解析：
证明：(1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy， 因为a＋b＝1， 所以a－1＝－b，b－1＝－a. 又a，b均为正数， 所以a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy ＝－ab(x2＋y2－2xy) ＝－ab(x－y)2≤0，当且仅当x＝y时等号成立． 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2. (2)＋＝4＋a2＋b2＋＝4＋a2＋b2＋＋＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2＋≥4＋＋2＋4＋2＝. 当且仅当a＝b时等号成立．以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念） 然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）        先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

   做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

 主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

  积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

  精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

  配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；
老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

  合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间， 注意事项 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

​ 数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。