专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 2019年 1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 2.（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b， ,则 A．当b=时，a10＞10 B．当b=时，a10＞10 C．当b=-2时，a10＞10 D．当b=-4时，a10＞10 3.（2019浙江20）设等差数列的前n项和为，，，数列满 足：对每个成等比数列. （1）求数列的通项公式；

（2）记 证明：
2010-2018年 一、选择题 1．（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于 A． B． C． D． 2．（2012新课标）数列满足，则的前60项和为 A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 3．（2011安徽）若数列的通项公式是,则= A．15 B．12 C．－12 D．－15 二、填空题 4．（2015新课标1）数列中为的前n项和，若，则 ． 5．（2015安徽）已知数列中，，()，则数列的前9项和等于______． 6．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为 ． 7．（2014新课标2）数列满足，=2，则=_________． 8．（2013新课标1）若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______． 9．（2013湖南）设为数列的前n项和，则 （1）_____；

（2）___________． 10．（2012新课标）数列满足，则的前60项和为 ． 11．（2012福建）数列的通项公式，前项和为，则=___． 12．（2011浙江）若数列中的最大项是第项，则=____________． 三、解答题 13．（2018天津）设是等差数列，其前项和为()；
是等比数列，公比大于0，其前项和为()．已知，，， ． (1)求和；

(2)若，求正整数的值． 14．设（2017新课标Ⅲ）数列满足． (1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和． 15．（2016全国I卷）已知是公差为3的等差数列，数列满足，， ． （I）求的通项公式；

（II）求的前n项和． 16．（2016年全国II卷）等差数列{}中，． (Ⅰ)求{}的通项公式；

(Ⅱ)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2． 17．（2015浙江）已知数列和满足，，，， ． （Ⅰ）求与；

（Ⅱ）记数列的前项和为，求． 18．（2015湖南）设数列的前项和为，已知， 且． （Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求． 19．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 ． （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数，有 20．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N (Ⅰ)求，，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列｛｝的前项和． 21．（2011广东）设，数列满足，． （1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数， 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0. 由，得，解得． 因此数列为“M—数列”. （2）①因为，所以． 由，得，则. 由，得， 当时，由，得， 整理得． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n. ②由①知，bk=k，. 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1；

当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）=，则． 令，得x=e.列表如下：
x e (e，+∞) + 0 – f（x） 极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 2.解析：对于B，令，得， 取，所以， 所以当时，，故B错误；

对于C，令，得或， 取，所以， 所以当时，，故C错误；

对于D，令，得， 取，所以，…，， 所以当时，，故D错误；

对于A，，， ， ，递增， 当时，， 所以，所以，所以故A正确．故选A． 3.解析（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得 ， 解得． 从而． 由成等比数列得 ． 解得． 所以． （Ⅱ）． 我们用数学归纳法证明． （1）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

（2）假设时不等式成立，即． 那么，当时， ． 即当时不等式也成立． 根据（1）和（2），不等式对任意成立． 2010-2018年 1．C【解析】∵，∴是等比数列 又，∴，∴，故选C． 2．D【解析】【法1】有题设知 =1，① =3 ② =5 ③ =7，=9， =11，=13，=15，=17，=19，， …… ∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…， ∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{}的前60项和为=1830. 【法2】可证明：
【法3】不妨设，得，，所以当n为奇数时，，当n为偶数时，构成以为首项，以4为公差的等差数列，所以得 3．A【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；

法二：，故=．故选A. 4．6【解析】∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴，∴，∴． 5．27【解析】∵，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和． 6．【解析】由题意得：
所以． 7．【解析】将代入，可求得；
再将代入，可求得；
再将代入得；
由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以． 8．【解析】当=1时，==，解得=1， 当≥2时，==－()=，即=， ∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=. 9．（1），（2） 【解析】(1)∵． 时，a1＋a2＋a3＝－a3－ ① 时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－. ② 由①②知a3＝－． (2)时，，∴ 当n为奇数时，；

当n为偶数时，． 故， ∴ ． 10．【名师解析】可证明：
， ． 11．3018【解析】因为的周期为4；
由 ∴，，… ∴ 12．4【解析】由题意得，得， 13．【解析】(1)设等比数列的公比为，由，，可得． 因为，可得，故．所以． 设等差数列的公差为．由，可得． 由，可得 从而， 故，所以． (2)由(1)，知 由可得， 整理得，解得（舍），或．所以的值为4． 14．【解析】（1）因为，故当时， ． 两式相减得． 所以． 又由题设可得． 从而的通项公式为 =. （2）记的前项和为， 由（1）知． 则． 15．【解析】（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）和 ，得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 16．【解析】 (Ⅰ)设数列的公差为，由题意有， 解得，所以的通项公式为. （Ⅱ）由(Ⅰ)知， 当=1,2,3时，；

当=4,5时，；

当=6,7,8时，；

当=9,10时，， 所以数列的前10项和为. 17．【解析】（Ⅰ）由，，得． 当时，故． 当时，整理得所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 故， ， 所以． 18．【解析】（Ⅰ）由条件，对任意，有， 因而对任意，有， 两式相减，得，即， 又，所以， 故对一切，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列， 所以， 于是 ． 从而， 综上所述，． 19．【解析】（Ⅰ）， 所以 （Ⅱ） （Ⅲ）当时， 20．【解析】(Ⅰ) - （Ⅱ） 上式左右错位相减：
。

21．【解析】（1）由 令， 当 ①当时， ②当 （2）当时，（欲证） ， 当 综上所述