2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则= (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为 (A) (B) ( (C) ( (D) ( (3) 已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线关于直线x=2对称的曲线方程是 (A) (B) (C) (D) (5) 设z=x—y ,式中变量x和y满足条件则z的最小值为 (A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 (6) 已知复数,且是实数,则实数t= (A) (B) (C) -- (D) -- (7) 若展开式中存在常数项,则n的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC中,“A>30º”是“sinA>”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 (9)若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） （10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α= （A）（B）（C）（D） （11）设是函数f(x)的导函数，y=的图象 如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是 （12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分把答案填在题中横线上 （13）已知则不等式≤5的解集是 （14）已知平面上三点A、B、C满足则的值等于 （15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答） （16）已知平面α和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为 三. 解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本题满分12分） 在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值 （18） （本题满分12分） 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）记第一次与第二次取到球的标号之和为ε （Ⅰ）求随机变量ε的分布列；

（Ⅱ）求随机变量ε的期望Eε （19）（本题满分12分） 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点 （Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本题满分12分） 设曲线≥0）在点M（t,c--1）处的切线与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t） （Ⅰ）求切线的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值 （21）（本题满分12分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双 曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1 （Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的 取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲 线的方程 （22）（本题满分14分） 如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), （Ⅰ）求及; （Ⅱ）证明 (Ⅲ)若记证明是等比数列. 2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题 参考答案 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分. 13. 14. --25 15. 5 16. 三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分) 解: (Ⅰ) = = = = (Ⅱ) ∵ ∴, 又∵ ∴ 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是. (18) (满分12分) 解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10 随机变量ε的概率分布列如下 ε 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 随机变量ε的数学期望 Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. (19) (满分12分) 方法一 解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， ∴四边形AOEM是平行四边形， ∴AM∥OE ∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDE (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS， ∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF， ∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线定理得BS⊥DF ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角 在RtΔASB中， ∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º （Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，， ∴PQ⊥平面ABF，平面ABF， ∴PQ⊥QF 在RtΔPQF中，∠FPQ=60º， PF=2PQ ∵ΔPAQ为等腰直角三角形， ∴ 又∵ΔPAF为直角三角形， ∴， ∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点 方法二 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系 设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, ∴ =(, 又点A、M的坐标分别是 （）、（ ∴ =（ ∴=且NE与AM不共线， ∴NE∥AM 又∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDF （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF ∴为平面DAF的法向量 ∵=（·=0， ∴=（·=0得 ,∴NE为平面BDF的法向量 ∴cos<>= ∴的夹角是60º 即所求二面角A—DF—B的大小是60º （Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得 ∴=（，0，0） 又∵PF和CD所成的角是60º ∴ 解得或（舍去）， 即点P是AC的中点 （20）（满分12分） 解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为 故切线的方程为即 （Ⅱ）令y=0得x=t+1, 又令x=0得 所以S（t）= = 从而 ∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0, 所以S(t)的最大值为S(1)= (21) (满分12分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程 即 因为点M到直线AP的距离为1, ∵ 即. ∵ ∴ 解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--. ∴m的取值范围是 (Ⅱ)可设双曲线方程为 由 得. 又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此，（不妨设P在第一象限） 直线PQ方程为 直线AP的方程y=x-1, ∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得， 所以所求双曲线方程为 即 （22）（满分14分） 解：(Ⅰ)因为， 所以，又由题意可知 ∴ = = ∴为常数列 ∴ (Ⅱ)将等式两边除以2，得 又∵ ∴ （Ⅲ）∵ = = 又∵ ∴是公比为的等比数列