椭圆知识点

　知识点一：椭圆的定义

　平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

　　注意：若，则动点的轨迹为线段；

　　　　　若，则动点的轨迹无图形.

　知识点二：椭圆的简单几何性质

　　　椭圆：与 的简单几何性质

　标准方程

　 图形

　性质

　焦点

　，

　，

　焦距

　 范围

　，

　，

　对称性

　关于轴、轴和原点对称

　顶点

　，

　，

　轴长

　长轴长=，短轴长=

　长半轴长=，短半轴长=（注意看清题目）

　离心率

　；；；

　(p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

　注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

　知识点三：椭圆相关计算

　1．椭圆标准方程中的三个量的几何意义　

　 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长

　 焦点弦：椭圆过焦点的弦。

　 3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，为最大角。

　 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

　 焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）

　5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．

　(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上．

　(2)设方程：

　①依据上述判断设方程为=1或=1

　②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

　(3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．

　(4)解方程组，代入所设方程即为所求．

　 6.点与椭圆的位置关系:

　<1,点在椭圆内；=1，点在椭圆上；>1, 点在椭圆外。

　 7.直线与椭圆的位置关系

　设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

　(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；

　(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；

　(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．

　 8.弦长公式：（注意推导和理解）

　若直线与圆锥曲线相交与、两点，则弦长

　=

　 9.点差法：

　 就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

　步骤:①设直线和圆锥曲线交点为  ，  ，其中点坐标为  ，则得到关系式： ，  ．.

　②把  ，  分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解．其结果为

　③利用  求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .

　中点弦的重要结论（不要死记会推导）

　 10．参数方程

　（为参数）几何意义：离心角

　11、椭圆切线的求法

　1）切点（）已知时，

　切线

　 切线

　2）切线斜率k已知时，

　 切线

　 切线

　12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

　 （加减由长短决定）

　 （加减由长短决定）

　13．离心率的求法

　椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方

　14. 焦点三角形的周长和面积的求法

　利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常

　15. 椭圆的范围或最值问题

　知识点四：椭圆了解知识

　1、 椭圆面积：

　 2、 椭圆的第二定义：