1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类)

　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

　第Ⅰ卷(选择题共60分) 一．选择题：本大题共14小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 如图，Ⅰ是全集，M、P、S是Ⅰ的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 (

　) (A) (M∩P)∩S (B) (M∩P)∪S (C) (M∩P)∩ (D) (M∩P)∪ (2) 已知映射f：A→B，其中，集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 (

　) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (3) 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，f(a)=b，ab≠0，则g(b)等于 (

　) (A) a (B) a－1 (C) b (D) b－1 (4) 函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=－M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a，b]上 (

　) (A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值－M (5) 若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 (

　) (A) sinx (B) cosx (C) sin2x (D) cos2x (6) 曲线x2+y2+x－y=0关于 (

　) (A) 直线x=轴对称 (B) 直线y=－x轴对称 (C) 点(－2，)中心对称 (D) 点(－，0)中心对称 (7) 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 (

　) (A) 6cm (B) 6cm (C) 2cm (D) 3cm (8) 若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则(a0+a2)2－(a1+a3)2的值为 (

　) (A) －1 (B) 1 (C) 0 (D) 2 (9) 直线x+y－2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　(10) 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 (

　) (A)

　(B) 5 (C) 6 (D)

　(11) 若sina>tga>ctga(－<a<)，则a∈ (

　) (A) (－，－) (B) (－，0) (C) (0，) (D) (，) (12) 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R= (

　) (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 (13) 给出下列曲线：

　①4x+2y－1=0

　②x2+y2=3

　③

　④ 其中与直线r=－2x－3有交点的所有曲线是 (

　) (A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③④ (14) 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘. 根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有 (

　) (A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种

　第Ⅱ卷(非选择题共90分)

　二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线 (15)设椭圆(a>b>0)的右焦点为F1，右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是_______________ (16)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长．要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有______种(用数字作答)

　(17)若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是____________ (18) α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

　①m⊥n

　②α⊥β

　③n⊥β

　④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题：_________________________

　三．解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (19)(本小题满分10分) 解方程－31gx+4=0 (20)(本小题满分12分) 数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn－3(n∈N)求(a1+a3+…+a2n－1)的值． (21)(本小题满分12分) 设复数z=3cosθ+isinθ．求函数y=tg(θ－argz)(0<θ<)的最大值以及对应的θ值 (22)(本小题满分12分) 如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45º，AB=a．

　(Ⅰ)求截面EAC的面积； (Ⅱ)求异面直线A1B1与AC之间的距离； (Ⅲ)求三棱锥B1－EAC的体积． (23)(本小题满分14分) 下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．

　(Ⅰ)输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ 输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度 输入该对的带钢厚度

　(一对轧辊减薄率=

　 ) (Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)． 轧辊序号k 1 2 3 4 疵点间距Lk(单位：mm)

　1600 (24)(本小题满分14分) 如图，给出定点A(a，0)

　(a>0，a≠1)和直线l：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

　 1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准

　说明：

　一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

　一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分．满分60分． (1) C

　(2) A

　(3) A

　(4) C

　(5) B

　(6) B

　(7) B

　(8) A

　(9) C

　(10) D

　(11) B

　 (12) D

　(13) D

　 (14) C

　二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． (15)

　(16) 12

　(17)

　(18) m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β

　三．解答题 (19) 本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力．满分10分． 解：设，原方程化为

　y－y2+2=0

　——4分 解得

　y=－1，y=2．

　——6分 因为

　，所以将y=－1舍去． 由=2， 得lgx=2， 所以x=100．

　 ——9分 经检验，x=100为原方程的解．

　 ——10分 (20) 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识．满分12分． 解：由

　Sn=a1+a2+…+an知 an=Sn－Sn－1(n≥2)， a1=S1，

　——2分 由已知an=5Sn—3得

　an－1=5Sn－1—3．

　——4分 于是

　an－an－1 =5(Sn－Sn－1) =5an， 所以 an=－an－1．

　 ——6分 由 a1=5S1—3， 得 a1=． 所以，数列{an}是首项a1=，公比q=－的等比数列．

　 ——8分 由此知数列

　a1，a3，a5，…，a2n－1，… 是首项为a1=，公比为的等比数列． ∴ ( a1+a3+a5+…+a2n－1)=．

　 ——12分 (21) 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．满分12分． 解：由得． 由z=3cosθ+isinθ得tg(argz)=．

　——3分 故

　y=tg(θ－argz)

　——6分

　 ∵ ， ∴ ．

　——9分 当且仅当=tgθ()时，即tgθ=时，上式取等号． 所以当θ=时，函数y取得最大值．

　——12分 (22) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分． (Ⅰ) 解：如图，连结DB交AC于O，连结EO． ∵ 底面ABCD是正方形， ∴ DO⊥AC． 又 ∵ ED⊥底面AC， ∴ EO⊥AC． ∴ ∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

　 ——2分 ∴ ∠EOD=45º． DO=a，AC=a，EO=a·sec45º=a． 故

　S△EAC=a 2．

　 ——4分 (Ⅱ) 解：由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC． 又

　A1A⊥A1B1， ∴ A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线．

　 ——6分 ∵ D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO， ∴ D1B∥EO． 又O是DB的中点， ∴ E是D1D的中点，D1B=2EO=2a． ∴ D1D==a． 异面直线A1B1与AC间的距离为a．

　 ——8分 (Ⅲ) 解法一：如图，连结D1B1． ∵ D1D=DB=a， ∴ BDD1B1是正方形． 连结B1D交D1B于P，交EO于Q． ∵ B1D⊥D1B，EO∥D1B， ∴ B1D⊥EO． 又

　AC⊥EO，AC⊥ED． ∴ AC⊥面BDD1B1， ∴ B1D⊥AC， ∴ B1D⊥面EAC． ∴ B1Q是三棱锥B1－EAC的高．

　 ——10分 由DQ=PQ，得B1Q=B1D=a． ∴

　所以三棱锥B1－EAC的体积是．

　——12分 解法二：连结B1O，则=2．

　 ——10分 ∵ AO⊥面BDD1B1， ∴ AO是三棱锥A－EOB1的高，AO=a． 在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点(如右图)，则 ． ∴ ． 所以三棱锥B1－EAC的体积是．

　——12分 (23) 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力．满分14分． (Ⅰ) 解：厚度为α的带钢经过减薄率均为r0的n对轧辊后厚度为α(1－r0)n． 为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足 α(1－r0)n≤β， 即 (1－r0)n≤．

　 ——4分 由于(1－r0)n>0，>0，对上式两端取对数，得 nlg(1－r0)≤lg． 由于lg(1－r0)<0，所以 n≥． 因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊．

　 ——7分 (Ⅱ)解法一：第k对轧辊出口外疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为 1600·α(1－r)k·宽度

　(其中r=20%)， 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 Lk·α(1－r)4·宽度． 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得 1600·α(1－r)k=Lk·α(1－r)4

　(r=20%)， 即 Lk=1600·0.8k－4．

　——10分 由此得L3=2000(mm)， L2=2500(mm)， L1=3125(mm)． 填表如下 轧辊序号k 1 2 3 4 疵点间距Lk(mm) 3125 2500 2000 1600 解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有 1600=L3·(1－0.2)， 所以 L3==2000(mm)．

　——10分 同理 L2==2500(mm)． L1==3125(mm)． 填表如下 轧辊序号k 1 2 3 4 疵点间距Lk(mm) 3125 2500 2000 1600

　 ——14分 (24) 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．满分14分． 解法一：依题意，记B(－1，b) (b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得．

　①

　 ——4分 依题设，点C在直线AB上，故有

　 ．

　——6分 由

　x－a≠0，得

　．

　 ② 将②式代入①代得 ， 整理得y2[(1－a)x2－2ax+(1+a)y2]=0．

　——9分 若y≠0，则(1－a)x2－2ax+(1+a)y2=0

　(0<x<a)； 若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为(0，0)，满足上式． 综上得点C的轨迹方程为

　 (1－a)x2－2ax+(1+a)y2=0

　(0≤x<a)．

　——10分 ∵ a≠1， ∴

　 (0≤x<a)．

　 ③

　——12分 由此知，当0<a<1时，方程③表示椭圆弧段； 当a>1时，方程③表示双曲线一支的弧段．

　 ——14分 解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足． (ⅰ)当|BD|≠0时，设点C(x，y)，则0<x<a，y≠0． 由CE∥BD得

　．

　——3分 ∵ ∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD， ∴ 2∠COA=π－∠BOD． ∵

　 ——6分 ． ∴

　整理得(1－a)x2－2ax+(1+a)y2=0

　(0<x<a)．

　——9分 (ⅱ) 当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为 (0，0)，满足上式． 综合(ⅰ)，(ⅱ)，得点C的轨迹方程为

　 (1－a)x2－2ax+(1+a)y2=0

　(0≤x<a)．

　——10分 以下同解法一．