2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题

　一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则下列各不等式一定成立的是 (▲

　) A． B． C． D． 2．已知向量＝(0，1，1)，＝(1，－2，1)．若向量+与向量＝(m，2，n)平行，则实数n的值是（

　 ▲） A．6

　 B．－6

　 C．4

　 D．－4 3.已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ 

　▲  ） A.

　 B.

　 C.

　D. 4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ▲

　） A．一鹿、三分鹿之一

　 B．一鹿

　 C．三分鹿之二 D．三分鹿之一 5.已知等比数列为单调递增数列，设其前n项和为，若，，则的值为

　（ ▲

　 ） A．16 B．32 C．8 D． 6.下列不等式或命题一定成立的是(

　▲ ) ①lg(x2+)⩾lg x(x>0);

　②sin x+⩾2(x≠kπ,k∈Z)； ③x2+1⩾2|x|(x∈R);

　 ④ (x∈R)最小值为2. A. ①②

　 B. ②③

　 C. ①③

　 D. ②④ 7． 已知关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是(  ▲

　  ) A.

　 B.

　 C.

　 D.

　8. 设为数列的前项和,满足，则

　 （▲　　） A．192 B．96 C．93 D．189 9.若正数a、b满足，设，则y的最大值是（ ▲ ） A.12

　 B. -12

　 C. 16

　D.

　-16

　 10． 正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则的值为（ ▲

　） A．-2 B．4 C．2 D．1 11．已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得，则该离心率e的取值范围是（ ▲ ） A.

　 B.

　C.

　 D.

　12．当n为正整数时，定义函数表示n的最大奇因数。如，， ，则

　（ ▲ ）

　A. 342

　B. 345

　C. 341

　 D. 346

　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．命题p：“，都有”的否定：

　▲

　. 14．不等式的解集是___▲_______． 15.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么 双曲线的渐近线方程为

　▲

　 16．已知，那么的最小值为____▲ ______

　三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）

　已知等差数列的前n项和为，且， . （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和Tn.

　▲▲▲

　18.（本题满分12分） 已知，函数. （1）若对恒成立，求实数a的取值范围。

　（2）当a=1时，解不等式. ▲▲▲ 19.（本题满分12分） 在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.

　 ▲▲▲

　 20.（本题满分12分） 某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增． ⑴．设使用年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式； ⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)．

　▲▲▲

　 21.（本题满分12分） 如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O. 如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB. (1)证明：OD⊥平面PAQ； (2)若BE=2AE，求二面角C−BQ−A的余弦值。

　▲▲▲

　 22. （本小题满分12分） 已知椭圆C1：，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若 ，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F．

　(1)求C1的标准方程；

　(2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得S△OPQ=S△OMN？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

　 ▲▲▲ 2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、 选择题 B D A B A C C D A D A A 二、 填空题 13.使得

　 14.

　 15.

　 16. 10

　三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）

　已知等差数列的前n项和为，且， . （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和Tn.

　17.（1）在等差数列中，， ， 解得,………………………………………………………………………….3分

　综上所述，数列的通项公式是……………………………………….5分 （2）由(1)知：，又因为 ，……………………………………….7分

　………………………………………………………………..10分 综上所述，数列的前n项和是.………………………………………..10分

　18.（本题满分12分） 已知，函数. （1）若对恒成立，求实数a的取值范围。

　（2）当a=1时，解不等式.

　18.(1)∵f(x)⩽2x对x∈(0,2)恒成立， ∴a⩽+2x对x∈(0,2)恒成立，……………………………………………………………….2分 ∵x>0∴+2x⩾2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，…………………….....4分 ∴a⩽2…………………………………………………………………………………….....6分 (2)当a=1时，f(x)=1−，∵f(x)⩾2x，∴1−⩾2x， ①若x>0，则1−⩾2x可化为：2x2−x+1⩽0，所以x∈∅；………………………………...8分 ②若x<0，则1−⩾2x可化为：2x2−x−1⩾0，解得：x⩾1或x⩽−， ∵x<0，∴x⩽−，………………………………………………………………………….....10分 由①②可得1−⩾2x的解集为：(−∞, −]………………………………..…………….....12分

　19.（本题满分12分） 在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.

　19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=−1的距离等于1， 所以动点M到直线x=−2的距离与它到点F(2,0)的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x. …………..………………………………………….....4分 (2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2).

　联立,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0). ……………………………………6分 ∴△>0，, x1x2=4………………………………………………………8分 ∴直线FA与直线FB的斜率之和= = == 因为x1x2=4∴直线FA与直线FB的斜率之和为0， ……………………………………11分 ∴直线FA与直线FB的倾斜角互补。……………………………………………………12分

　20.（本题满分12分） 【解】 ⑴．依题意f(n)＝14．4(0．20．40．6…0．2n)0．9n…………………2分 ＝14．40．1n(n＋1)0．9n ＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5分(没有定义域扣1分) ⑵．设该车的年平均费用为S万元，则有 S＝f(n)＝(0．1n2＋n＋14．4)＝n＋14．4＋1………………………………………7分 ∵n是正整数，故n＋14．4＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10分 当且仅当n＝(14．4)，即n＝12时，等号成立．………………………………11分 故汽车使用12年报废为宜．……………………………………………………………12分

　21.（本题满分12分） (1)解法一(几何法) 证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF; ∴PF∥OB， ∵AQ∥OB,∴PF∥AQ， ∴P、F. A. Q四点共面， 又由图1可知OB⊥OO1， ∵平面ADO1O⊥平面BCO1O， 且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1， ∴OB⊥平面ADO1O， ∴PF⊥平面ADO1O， 又∵OD⊂平面ADO1O， ∴PF⊥OD. ……………………………………………….. 2分

　在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1， ∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘， ∴AF⊥OD. ……………………………………………….. 4分 ∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ， ∴OD⊥平面PAQ. ……………………………………………….. 6分

　解法二(向量法)

　由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m， 则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0). ∵点P为BC中点,∴P(0,,3)，

　∴=(3,0,6), =(0,m,0) =(6,m−,−3)，………………………………………………………………………….. 2分 ∵·=0, ·=0 ∴⊥, ⊥且与不共线，……………………………… ……….4分 ∴OD⊥平面PAQ. …………………………………………………………………………... 6分

　(2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3， 则Q(6,3,0),∴ =(−6,3,0),

　=(0,−3,6). 设平面CBQ的法向量为 =(x,y,z)， ∵∴ 令z=1,则y=2,x=1,则=(1,2,1)，…………………………………………………………….. 8分 又显然,平面ABQ的法向量为=(0,0,1)，……………………………………..…………. 10分 设二面角C−BQ−A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角， 则cosθ==.…………………………………………………..…………………. 12分

　22（本题满分12分） (1) 依题意可知，即

　由右顶点为B(2,0)，得a=2，解得b2=3， 所以C1的标准方程为．……………………………………………….. 3分 (2) 依题意可知C2的方程为y2=−4x，………………………………………………..4分 假设存在符合题意的直线， 设直线方程为x=ky−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)， 联立方程组得(3k2+4)y2−6ky−9=0，

　由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，

　则|y1−y2|==，……………………………………………...6分 （写出PQ长度也可以） 联立方程组，得y2+4ky−4=0， 由韦达定理得y3+y4=−4k，y3y4=−4， 所以|y3−y4|==，………………………………………….... 8分 （写出MN长度也可以） 若S△OPQ=S△OMN，则PQ=2MN，…………………………….………………………….. 10分 则|y1−y2|=|y3−y4|，即=，解得k=， 所以存在符合题意的直线方程为x+y+1=0或x−y+1=0．…………………..... 12分