第七章

　 多元函数微分学 作业1

　多元函数 1．填空题 （1）已知函数，则； （2）的定义域是； （3）的定义域是 ； （4）函数的连续范围是

　 全平面

　； （5）函数在处间断. 2．求下列极限 （1）； 解：

　（2）. 解：

　由于，，

　故 3．讨论极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在

　4．证明在点分别对于每个自变量或 都连续，但作为二元函数在点却不连续. 解：由于 从而可知在点分别对于每个自变量或 都连续，但沿着曲线,有因而异， 从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.

　作业2

　偏导数 1．填空题 （1）设，则； （2）（3）设，则； （3）设，则

　0

　； （4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是. 2．设，

　证明

　. 证:因为 所以

　 3. 设，求，. 解：， 从而

　4．设， 证明

　.

　解：因为

　 所以 5．设函数. （1）试求的偏导函数； 解：当 ， 当 ， （2）考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续， 不存在，从而在点处不连续 作业3

　全微分及其应用 1．填空题 （1）在点处偏导数存在是在该点可微的

　必要 条件； （2）函数在点处，当时有全增量 ，全微分； （3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是； （4）在点处的； （5）,则； （6）,则； （7）,则

　 . 2．证明：在点处连续，与存在，但在 处不可微. 证：由于从而但是 不存在，从而在处不可微.

　3．设函数 试证：（1）函数在点处是可微的； 证：因为

　又 所以函数在点处是可微的

　（2）函数在点处不连续. 证：当 不存在， 故在点处不连续 作业4

　多元复合函数的求导法则 1．填空题 （1）设，则 ； （2）设，则 ； （3）设，则； （4）设，则. 2．求下列函数的偏导数 （1）设其中具有一阶连续偏导数，求和； 解：

　（2）设，其中均可微，求和. 解：因为 从而

　所以 3．验证下列各式 （1）设，其中可微，则； 证：因为 所以 （2）设，其中可微，则. 证：因为 所以

　4．设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为 所以

　4．设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：. 证：因为

　从而左边 作业5

　隐函数求导法 1．填空题 （1）已知，则； （2）已知，则； （3）已知，则； （4）已知，则； （5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2．设其中具有二阶连续偏导数，求． 解：

　 3．求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知

　4．设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为，

　5．设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求. 解：因为

　 特征方程为 作业6

　方向导数与梯度 1．填空题 （1）在梯度向量的方向上，函数的变化率

　 最大

　 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的

　 模

　 ； （3）函数在点的梯度为； （4）函数在点处沿方向的方向导数是

　，且函数在该点的梯度是； （5）函数在点处沿方向的方向导数是； （6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是. 2．求在点及点处的梯度间的夹角. 解：

　 夹角余弦为 3．求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向的值不变？ 解：

　， 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快； 沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变 4．设轴正向到得转角为，求函数 在点处沿着方向的方向导数. 解：， 由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数：

　 作业7

　偏导数的几何应用 1．填空题 （1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点 的坐标是； （2）曲面在点处的切平面方程是； （3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向内侧的单位法向量为； （4）曲面在点处的法线方程是 ； （5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或． 2．求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程. 解：切点为， 从而切线为， 法平面为 3．求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程. 解：，

　切线为，法平面为 4．求曲面在点处的切平面及法线的方程. 解：

　切平面为，法线为 5．求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数. 解：

　指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为

　6．证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数. 证：设切点为， 则 切平面为 令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

　作业8

　多元函数的极值 1．填空题 （1）函数的极值是

　0

　 ； （2）函数的极值点是； （3）函数的极值点是； （4）函数的极值是； （5）函数的极值是. 2．证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点. 证：因为 由 得驻点坐标为 又 故 只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时 因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。

　3．求函数在条件下的极值. 解：令 则 从而 4．求函数在圆域上的最大值与最小值. 解：先求圆内部的驻点得驻点， 再求圆周上的有约束极值，令 则 若则必有矛盾， 若则必有或 由于 从而要求的最大值为4，最小值为 5．在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体. 解：设在第一卦限内的顶点坐标为，则 令，则由 ， 可得，其长宽均为，高为 6．求椭圆的长半轴和短半轴. 解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下或的最值 取 由 从而，当时，由约束条件 当时，由约束条件 于是椭圆的长半轴为和短半轴为.

　第七章《多元函数微分学》测试试卷 1．单项选择题（每小题3分） （1） 二重极限值为 （

　D

　 ） （A）0；

　 （B）1；

　（C）；

　 （D）不存在. （2）二元函数在点处的两个偏导数和都存在，则（

　D

　 ）

　(A)在该点可微；

　(B) 在该点连续可微； (C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D) 以上结论都不对. （3）函数在处（

　A

　 ） (A) 不取极值；

　 (B) 取极小值；

　(C) 取极大值；

　(D)是否取极值依赖于. （4）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（

　 B

　） （A）只有1条； （B）只有2条； （C）至少有3条； （D）不存在. （5）设，其中，下面运算中（

　 B

　） ， (A)、都不正确；

　(B) 正确，不正确；

　(C) 不正确，正确；

　 (D) 、都正确. 2．填空题（每小题3分） （1）已知理想气体状态方程，则； （2）设，则； （3）函数在点的梯度为； （4）已知，其中为可微函数，则； （5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线的方程为 3．设，其中均为二阶可微函数，求. 解：因为 所以

　4．设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数. 解：

　从而 5．已知，其中均为可微函数，求. 解：对函数取全微分得， 从而

　6．设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：指向下侧在此即抛物面的外侧，

　 从而 7．在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标. 解：设切点为，则切平面为 在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。

　令 则 与约束条件结合推得 由于在第一卦限，从而切点为 8．设 （1）求，； （2），是否在原点连续？在原点是否可微？说明理由. 解：（1）当 ，

　当在此为分段点，用定义求偏导数

　（2），在原点因为二重极限不存在从而不连续，但

　9．已知为常数，且，求证：. 解：令，则问题化为在约束条件下的最大值为1 令，则 ， 结合约束条件 由于该实际问题的最大值一定存在，又可能点唯一，因此最大值为 从而