三、（本题8分）求函数在圆域上的最大值与最小值. 解：先求圆内部的驻点得驻点，---------2’ 再求圆周上的有约束极值，令 则 若则必有矛盾， 若则必有或--------------------------------------5’ 由于 从而要求的最大值为4，最小值为---------------------------------------------------1’

　四、（本题8分）求锥面被柱面割下部分的曲面面积..

　解:-------------------------2’ =---------------6’

　五、（本题8分）计算

　解:原式--------------------2’ ------------------------------------4’ --------------------------------------------------------2’

　六、（本题8分）计算曲面积分，其中为半球面的上侧. 补面 ,取上侧------------1’ --------------1’ ------------------------------------3’ -------------------------------------------3’

　七、（本题7分）计算曲线积分, 其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向. 解:-----------------2’ ,

　 ,逆时针----------3’

　----------------------------------------------------------------------2’ 八、（本题7分）求如下初值问题的解 . 解:由于方程不显含, 故令, 则, 从而, 方程化为 ,-----------------2’ 即

　 两端积分得

　.---------------3’ 代入初始条件可知, . 于是, , 即

　两端积分并代入初始条件, 则无论右端为正号, 还是负号, 其结果均为 ------------------2’

　十一、（非化工类做）（本题7分）将函数展开成余弦级数.

　解

　 由于，-----------------2’

　 --------------2’ 所以

　 -------------3

　十二、（非化工类做）（本题6分）求幂级数的收敛半径和收敛域. 解: 收敛半径3----------------------4’

　收敛域(-3,3)-------------------------2’

　十、（化工类做）（本题6分）计算二重积分, 其中

　是圆域：. ---------------------1’

　 --------------3’

　 ------------------------------2’ 十一、（化工类做）（本题7分）求由方程组 所确定的及的导数及. 解：由已知

　 十二、（化工类做）（本题6分）求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向的值不变？

　解：---------2’ ，----------------2’ 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；-----------------1’ 沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变---------------1’