1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 （1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为，那么四面体A＇-ABD的体积是 （ D ) （2）的 （ A ） （A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要的条件 （3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？ （ B ） （A） （B） （C） （D） (4)极坐标方程的图象是 （ C ） (A) O X (C) O X (B) O X (D) O X （5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ B ） （A）96个 （B）78个 （C）72个 （D）64个 二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） （1）求方程解集 答：
（2）设，求的值 答：π （3）求曲线的焦点 答：（0，0） （4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2 +a1+a0的值 答：64（或26） （5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x2)的定义域 答：[-1，1] 三．（本题满分14分） （1）解方程 解：由原对数方程得 解这个方程，得到x1=0,x2=7. 检验：x=7是增根，x=0是原方程的根 （2）解不等式 解：
解得 四．（本题满分15分） 如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，线段PM的长为，求线段PQ的长 A P B N C 450 M θ R β Q D 解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N， 则PN⊥BC（三垂线定理）因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β 在Rt△PNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR 在Rt△MNR中，MR= 在Rt△PMR中， 又已知00＜θ＜900，所以 在Rt△PRQ中， 故线段PQ的长为 五．（本题满分15分） 设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ， （2）△OZ1Z2的面积为定值S 求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值 Y Z1 θ O -θ X Z2 解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中 由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有 于是 又知△OZ1Z2的面积为定值S及，所以 六．（本题满分15分） 已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程） 解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可设点A和B分别是（,)和(+1,+1)，其中为参数 Y y=x Q P· X B O A M 于是可得：直线PA的方程是 直线QB的方程是 1.当直线PA和QB平行，无交点 2．当时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得 将上述两式代入（1）式，得 当=-2或=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式 所以（*）式即为所求动点的轨迹方程 注：考生没指出“=0”及“=-2或=-1”时的情形不扣分 七．（本题满分14分） 设 （1）证明不等式对所有的正整数n都成立 （2）设用定义证明 （1）证一：用数学归纳法略 证二：由不等式对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，得到 又因以及 对所有的正整数n都成立 （2）由（1）及bn的定义知 对任意指定的正数ε，要使，只要使，即只要使 取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足 根据极限的定义，证得 八．（本题满分12分） 设,b是两个实数， A={(x,y)|x=n,y=n+b,n是整数}， B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数}， C={(x,y)|x2+y2≤144}， 是平面XOY内的点集合，讨论是否存在和b使得 （1）A∩B≠（表示空集）， （2）（,b)∈C 同时成立 解：如果实数和b使得（1）成立，于是存在整数m和n使得 (n,n+b)=(m,3m2+15), 即 由此得出，存在整数n使得n+b=3n2+15, 或写成n+b-(3n2+15)=0 这个等式表明点P（,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上，记从原点到直线L的距离为d，于是 当且仅当时上式中等号才成立由于n是整数，因此，所以上式中等号不可能成立即 因为点P在直线L上，点P到原点的距离必满足 而（2）成立要求2+b2≤144，即由此可见使得（1）成立的和b必不能使（2）成立 所以，不存在实数和b使得（1），（2）同时成立 九．（附加题，本题满分10分，） 已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值 解：已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y＇=3x2-12x+11 在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是 y＇|x=x0=3x02-12x0+11 点P处切线方程是 y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0 设这切线与y轴的截距为r，则 r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6 根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值因为 r＇=-6x02+12x0=-6x0(x0-2) 当0＜x0＜2时r＇＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小 这个最小值是r最小值=-6