2000年高考江西、天津卷 数

　学（文史类）

　一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1） 设集合A=，B=，则A∪B中的元素个数是

　（A）11

　（B）11

　 （C）16

　 （D）15 （2）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①；

　 ② ③不与垂直

　④ 中，是真命题的有 （A）①②

　（B）②③

　（C）③④

　 （D）②④ （3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，，，这个长方体

　 对角线的长是 （A）2

　 （B）3

　（C）

　（D）6 （4）已知，那么下列命题成立的是 （A）若、是第一象限角，则 （B）若、是第二象限角，则 （C）若、是第三象限角，则 （D）若、是第四象限角，则 （5）函数的部分图象是

　（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过

　800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额此项税

　款按下表分段累进计算：

　全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 （A） 800~900元

　 （B）900~1200元 （C）1200~1500元

　（D）1500~2800元 （7）若，P=，Q=，R=，则 （A）RPQ

　（B）PQ R

　（C）Q PR

　 （D）P RQ （8）已知两条直线，，其中为实数当这两条直线的夹

　角在内变动时，的取值范围是

　（A）

　（B）

　（C）∪

　 （D） （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比

　是

　（A）

　（B）

　（C）

　（D） （10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直

　 线的方程是 （A）

　 （B）

　（C）

　 （D） （11）过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线

　 段PF与FQ的长分别是、，则等于 （A）

　 （B）

　 （C）

　 （D）

　（12）二项式的展开式中系数为有理数的项共有

　 （A）6项

　 （B）7项

　（C）8项

　（D）9项

　二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横 线上 （13）从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于________ （14）椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角

　 时，点P横坐标的取值范围是________ （15）设是首项为1的正项数列，且（=1，2，

　3，…），则它的通项公式是=________ （16）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______（要求：把可能的图的

　 序号都填上）

　 三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或

　 演算步骤 （17）（本小题满分10分）

　 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、乙二人依次各抽一题

　 （I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

　（18甲）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点 （I）求的长； （II）求，的值； （III）求证

　（18乙）（本小题满分12分）

　 如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=

　（I）证明：⊥BD；

　 （II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明 （19）（本小题满分12分） 设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求

　（20）（本小题满分12分）

　设函数，其中 （I）解不等式； （II）证明：当时，函数在区间上是单调函数 （21）（本小题满分12分）

　用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 （22）（本小题满分14分） 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点求双曲线的离心率

　2000年高考江西、天津卷 数学试题（文史类）参考解答及评分标准

　一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分 （1）C

　 （2）D

　（3）C

　（4）D

　 （5）D

　（6）C

　 （7）B

　 （8）C

　（9）A

　 （10）C

　（11）C

　（12）D

　二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分 （13）0.05

　 （14）

　（15）

　（16）②③

　三、解答题 （17）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力满分10分 解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；

　 ——5分 （II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少 有一人抽到选择题的概率为，所求概率为

　——10分 或

　 ，所求概率为

　——10分 （18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识满分12分

　如图，以C为原点建立空间直角坐标系O

　 （I）解：依题意得B，N，

　∴

　——2分

　 （II）解：依题意得，B，C，

　∴ ，

　 ，

　 ——5分

　 ∴

　 ——9分 （III）证明：依题意得，M

　 ， ，

　 ∴ ，∴

　——12分

　 （18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力满分

　 12分

　 （I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结 ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD 又∵

　， ∴ ， ∴ ， ∵ DO=OB， ∴ BD，

　——3分 但 AC⊥BD，AC∩=O， ∴ BD⊥平面 又 平面， ∴ BD

　——6分 （II）当时，能使⊥平面 证明一：

　∵ ， ∴ BC=CD=， 又 ， 由此可推得BD= ∴ 三棱锥C- 是正三棱锥

　 ——9分 设与相交于G ∵ ∥AC，且∶OC=2∶1， ∴ ∶GO=2∶1 又 是正三角形的BD边上的高和中线， ∴ 点G是正三角形的中心， ∴ CG⊥平面 即 ⊥平面

　 ——12分 证明二：

　由（I）知，BD⊥平面， ∵ 平面，∴ BD⊥

　——9分 当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD⊥的证法可得⊥ 又 BD∩=B， ∴⊥平面

　 ——12分

　 （19）本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力满分12分

　 解：设等差数列的公差为，则

　∵

　，，

　∴

　——6分

　即

　 解得

　，

　 ——8分

　∴

　 ，

　∵

　 ，

　∴

　数列是等差数列，其首项为，公差为，

　∴

　 ——12分

　 （20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的

　 数学思想方法和运算、推理能力满分12分

　 解：（I）不等式即

　 ，

　 由此得，即，其中常数

　 所以，原不等式等价于

　 即

　——3分

　所以，当时，所给不等式的解集为；

　当时，所给不等式的解集为

　——6分

　 （II）在区间上任取，，使得<

　——9分

　∵

　，且，

　∴

　 ，

　又

　 ，

　∴

　 ，

　即

　 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数 ——12分

　（21）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识满分12分

　解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为

　由和，得， 设容器的容积为，则有

　 整理，得

　，

　 ——4分 ∴

　——6分 令，有

　 ， 即

　， 解得

　 ，（不合题意，舍去）

　 ——8分 从而，在定义域（0，1，6）内只有在处使由题意，若过小（接近0）或过大（接受1.6）时，值很小（接近0），因此，当时取得最大值

　， 这时，高为 答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为

　 ——12分

　（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推

　理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力满分14分

　 解：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴

　因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称

　 ——2分

　 依题意，记A，B，C，其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为

　，

　 ——5分 设双曲线的方程为，则离心率 由点C、E在双曲线上，得

　——10分

　 由①得，代入②得

　所以，离心率

　 ——14分