2012－2013学年第2学期《概率论与数理统计》期末试题（A卷）

　姓名

　学号

　学院

　专业

　题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分

　评卷人

　注意：

　一、填空题（每空3分，共15分）。

　1、设X服从参数为λ的泊松分布，且，则=

　1

　2、设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,为样本方差,则服从的分布是

　.

　 3、设随机变量与相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则

　1/9

　. 4、设随机变量和的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据契比雪夫不等式 5、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

　46

　二、（10分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：

　（1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对 （1）（2）1-（3） 三、(10分)玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率 。

　解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则 ，，，，，。

　由全概率公式得

　由贝叶斯公式

　四、（15）设二维随机变量的概率分布为

　其中、、为常数，且的数学期望,,记. 求

　(1) 、、的值;

　 (2)的概率分布;

　 (3). 解

　(1)由概率分布的性质可知, ,即. 由,可得. 再由,解得. 解以上关于、、的三个方程可得, . (2)的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则

　所以的概率分布为

　-2

　-1

　0

　1

　2

　 0.2

　 0.1

　0.3

　 0.3

　0.1

　(3) . 五、（15）设随机变量的概率密度为

　令,为二维随机变量的分布函数. 求(1)的密度函数;

　(2) ;

　(3) . 解

　(1)的分布函数为

　当时, . 当时,

　 当时,

　 当时,. 所以的概率密度为

　(2)

　 故

　(3)

　 六、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 解：设第K户居民每天用电量为度，1000户居民每天用电量为度， 10，=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则

　 即

　，则L=10425度。

　七、（10分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：

　98.7

　100.5

　101.2

　98.3

　99.7

　99.5

　101.4

　100.5 已知各包重量服从正态分布N（） （1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取）？ （2）求参数的90%置信区间。

　解、需要检验的假设

　检验统计量为，

　 计算可得：

　，

　故接受原假设。

　（2） ，n=8

　查表得，

　 故置信区间为

　八、（15分） 设总体的密度函数是，其中>0是参数。样本来自总体X。

　(1) 求的矩估计； (2) 求的最大似然估计； (3) 证明是的无偏估计，且是的相合估计（一致估计）。

　解：（1）， ，

　或：，， （2）似然函数：，，

　， 令，， （3） ，是的无偏估计， ， ， ，是的相合估计