2019届高三第二次模拟联考考试 数学（文科）试卷 命题学校：山西大学附属中学校 年级 班级 姓名 学号 注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。

4.作图题可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带。

第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知，则（ ） A．{1, 2} B．{1, 2, 3} C．{0, 1, 2} D．{1, 2, 3 , 4,} 2. 设复数满足，则复数所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为( ) A． 51.9 52 60 B．52 54 60 C． 51.9 53 60 D．52 53 62 4.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝(　　) A．80 B．90 C．85 D．95 5. 如果双曲线的两个焦点分别为，一条渐近线方程为，那么经过双曲线焦点且垂直于轴的弦的长度为（ ） A．6 B．3 C．9 D． 6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺， 竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．5 7. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　) A． B． C． D． 8. 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　) 9. 若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) A B C D 10. 设x，y满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. -3 D. 3 11. 已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12. 设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是(　　) A．(－1,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－3,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为_______． 14. 函数的图象在点处的切线方程是，则__________． 15. 已知四点都在半径为2的球的表面上，，则三棱锥的体积为 ． 16. 观察下列各式：
；

；

；

；

… 若按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则的值为__________． 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分） 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角；

（2）若，的周长为8，求的面积． 18.（本小题满分12分） 近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示． 题号 分组 频数 频率 第1组 0．100 第2组 ① 第3组 20 ② 第4组 20 0．200 第5组 10 0．100 第6组 100 1．00 （1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图；

（2）组委会决定在5名（其中第3组2名，第4组2名，第5组1名）选手中随机抽取2名选手接受考官进行面试，求第4组至少有1名选手被考官面试的概率． 19.（本小题满分12分） 已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2. (1)证明：AE⊥平面PAD；

(2)求多面体PAECF的体积． 20.（本小题满分12分） 设抛物线C：（）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点。

（1）若，的面积为，求的值及圆的方程；

（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值。

21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)＝－aln x(a∈R)． (1)若h(x)＝f(x)－2x，当a＝－3时，求h(x)的单调递减区间；

(2)若函数f(x)有唯一的零点，求实数a的取值范围． 请考生从22、23题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；
多涂、不涂或多答，按本选考题的首题进行评分。

22. (本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）；

（2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围. 23. (本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲：
设函数 （1） 当时，求不等式的解集；

（2） 若的解集是全体实数，求的取值范围。

数学（文科）答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1-5 CDCBA 6-10 ADBDA 11-12 DC 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. -8 14. 15. 2 16. 45 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解：（1） 由已知及正弦定理得：， ∵，∴， ∵∴，∵∴． （2）∵，的周长8，∴， 由余弦定理得，∴， 的面积 18.解：（1）第1组的频数为人，所以①处应填的数为， 从而第2组的频数为，因此②处应填的数为． 频率分布直方图如图所示， （2）设第3组的2名选手为，第4组的2名选手为，第5组的1名选手为，则从这5名选手中抽取2名选手的所有情况为，，，共10种，其中第4组的2名选手中至少有1名选手人选的有，共7种，所以第4组至少有1名选手被考官面试的概率为． 19.解：(1)由PA⊥底面ABCD得，PA⊥AE. 由底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，得△ABC为等边三角形，又E为BC的中点，得AE⊥BC，所以AE⊥AD.因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.(6分) (2)令多面体PAECF的体积为V，则V＝VP­AEC＋VC­PAF. VP­AEC＝××PA＝××2＝；
VC­PAF＝××AE＝××＝. 故多面体PAECF的体积V＝＋＝.(12分) 20.解（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，且|BD|=，圆F的半径，又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离。

因为△ABD的面积为，所以，即， 所以，由，解得。从而抛物线C的方程为， 圆F的圆心F（0，1），半径， 因此圆F的方程为。

（2） 若三点在同一直线上， 则AB为圆F的直径，， 根据抛物线的定义，得， 所以，从而直线的斜率为或。

当直线的斜率为时，直线的方程为，原点O到直线的距离。依题意设直线的方程为，联立，得，因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。所以直线的方程为，原点O到直线的距离。因此坐标原点到，距离的比值为。

当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。

21.解：(1)h(x)的定义域为(0，＋∞)， h′(x)＝－＋－2＝－＝－， 令h′(x)<0，得h(x)的单调递减区间是和(1，＋∞)． (2)问题等价于aln x＝有唯一的实根． 显然a≠0，则关于x的方程xln x＝有唯一的实根． 构造函数φ(x)＝xln x，则φ′(x)＝1＋ln x. 令φ′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝e－1. 当0<x<e－1时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；

当x>e－1时，φ′(x)>0，φ (x)单调递增． 所以φ(x)的极小值为φ(e－1)＝－e－1. 如图，作出函数φ(x)的大致图象，则要使方程xln x＝有唯一的实根，只需直线y＝与曲线y＝φ(x)有唯一的交点，则＝－e－1或>0，解得a＝－e或a>0. 故实数a的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)． 22. 解（1）曲线，即，即，即或， 由于曲线过极点，∴曲线的极坐标方程为，直线，即， 即，即， 直线的极坐标方程为；

（2）由题得，设为线段的中点，圆心到直线的距离为， 则它在时是减函数， ∴的取值范围． 23. 解：（1）当时，不等式可化为：
则或或 解得或，所以不等式 的解集为 。

（2） 等价于，而，且当时等号成立，故等价于，可得，所以的取值范围是