作业14

　对坐标的曲线积分 1．计算下列第二型曲线积分：

　(1) ，其中为按逆时针方向绕椭圆一周； 解：为 原式

　(2)

　，其中是从点到点的一段直线； 解：是 原式

　(3) ，其中是圆柱螺线从到

　的一段弧； 解：是 原式

　 (4) 计算曲线积分,其中为由点A (-1, 1)沿抛物线到点O (0, 0), 再沿x轴到点B (2, 0)的弧段． 解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分 ； 原式

　 2． 设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为 的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功． 解：

　 3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中 为：

　(1) 在平面内沿直线从点到点； (2) 沿抛物线从点到点． 解：（1）

　（2）

　作业15

　格林公式及其应用 1．填空题 (1) 设是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界,

　 12

　 ． (2) 设曲线是以为顶点的正方形边界， 不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_． （3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是． 其中为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段． 2．计算,其中L是沿半圆周 从点到点的弧． 解：L加上构成区域边界的负向

　 3．计算,其中为椭圆 正向一周． 解：原式

　 4．计算曲线积分 其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点 的一段弧． 解：令 则，原式

　 5．计算,其中为

　 （1）圆周（按反时针方向）； 解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式 （2）闭曲线（按反时针方向）． 解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得， 原式 6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：

　（1）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可， 原式 （2）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可， 原式

　（3）． 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可， 原式

　7．设在上具有连续导数，计算 ， 其中L为从点到点的直线段． 解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可， 原式 8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：

　（1）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为， 则 从而

　， （2）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为， 则原式

　 可取 （3） 解：可取折线作曲线积分

　9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关． 证：， 质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为 由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．