北京四中2016~2017学年度第二学期期中考试初二年级数学数学 数学试卷 一、选择（每小题3分，共30分） 1．直角三角形的两条直角边长分别为和，则斜边长是（

　 ）．

　A．

　B．

　C．

　D． 【答案】D 【解析】设斜边长为，两条直角边，， 则在直角三角形中，，∴．

　2．直线不过以下哪个象限（

　 ）．

　A．第一象限

　 B．第二象限

　 C．第三象限

　 D．第四象限 【答案】C 【解析】，，随增大而减小， ，在轴正半轴，画图知不经过第三象限．

　3．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则， 两点间的距离为（

　 ）．

　A．

　 B．

　 C．

　 D． 【答案】D 【解析】∵且， ∴．

　4．下列判断错误的是（

　 ）

　A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】两条对角线垂直且平分的四边形是菱形．

　5．某市月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（

　 ）．

　A．，

　 B．，

　 C．，

　 D．， 【答案】C 【解析】根据统计图知，众数为，表示数据最多的． 中位数，中间两数相加除．

　6．点与点都在一次函数的图象上，则（

　 ）．

　A．

　B．

　C．

　D．无法比较 【答案】A 【解析】由函数，，随增大而减小， ∵，∴．

　7．菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形面积为（

　 ）．

　A．

　B．

　C．

　D． 【答案】C 【解析】∵菱形， ∴于， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴．【注意有数字】

　 8．如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长是（

　 ）．

　 A．

　B．

　C．

　D． 【答案】C 【解析】∵平行四边形， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．

　9．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明， 一般情况下人的指距和身高成某种关系．下表是测得的指距与身高的一组数据：

　指距

　 身高

　根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是厘米，可预测他的指距约为（

　 ）． A．厘米

　 B．厘米

　 C．厘米

　 D．厘米 【答案】C 【解析】根据数据得指距每增加，身高增高． 所以， ．

　10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离（单 位：米）与时间（单位：分）的函数关系的图象大致如下图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用点表示李阿姨家的位置）（

　 ）．

　A．

　B． C．

　D． 【答案】D 【解析】由函数图象知该分段函数分布三部分，第二段函数中不变， 即第二段上李阿姨离家距离不变，选．

　二、填空（每小题3分，共18分） 11．如图，矩形的对角线，交于点，，，则的长为__________ ．

　 【答案】 【解析】∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 在直角三角形中， ．

　12．直线与轴交点坐标为__________． 【答案】 【解析】令，得，所以与轴交点．

　13．写出一个过点的一次函数解析式__________． 【答案】 【解析】答案不唯一．

　14．如图，在正方形中，和为直角三角形，，，

　，则的长是___________．

　【答案】 【解析】∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 即， 同理：， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 同理：， ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴．

　15．已知，在平面直角坐标系中，，，，四边形为平行四边形，则点坐 标是__________． 【答案】，， 【解析】如图有三种情况：

　 ①平行四边形， 因为从到是向右移个单位， 向上移个单位，所以到，也向右移个单位， 向上移个单位得到． ②平行四边形， 因为从到向右移个单位，向下移个单位， 所以从到向右移个单位，向下移个单位得到． ③平行四边形， 因为从到向左移个单位，向下移个单位， 所以从到向左移个单位，向下移个单位，得到．

　16．在数学课上，老师提出如下问题：

　 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线及其外一点． 求作：的平行线，使它经过点．

　小云的作法如下：

　 （）在直线上任取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点． （）分别以，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点． （）作直线．

　所以直线即为所求． 老师说：“小云的作法正确．”

　请回答：小云的作图依据是__________． 【答案】四条边都相等的四边形是菱形，菱形对边互相平行 【解析】由菱形性质得出，，，为顶点的四边形是菱形．

　三、解答（共52分） 17．已知：如图，、分别是平行四边形的边、上的点，且．

　求证：． 【答案】见解析 【解析】∵平行四边形，∴，， 在和中， ， ∴≌．

　18．已知点在直线上，

　（）直线解析式为__________．

　（）画出该一次函数的图象．

　（）将直线向上平移个单位长度得到直线，与轴的交点的坐标为__________．

　（）直线与直线相交于点，点坐标为__________．

　（）三角形的面积为__________．

　（）由图象可知不等式的解集为__________．

　 【答案】（）；（）见解析；（）；（）；（）；（） 【解析】解：（）把代入中， 得，， 所以解析式为 （）如图．

　（）， ， 令，， 解得， 所以与轴交点坐标． （）设直线解析式，

　把代入中， ， ， 所以直线， 则， 解得：， ∴点坐标． （）， ， ， ． （） 由图知．

　19．如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和 交于点． （）求证：四边形是矩形． （）当，时，求的长．

　【答案】见解析 【解析】解：（）证明：∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （）∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴中， ．

　20．如图所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图为列车离乙地路程 （千米）与行驶时间（小时）时间的函数关系图象． （）填空：甲、丙两地距离__________千米． （）求高速列车离乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出的取值范围．

　【答案】（）千米；（）见解析 【解析】解：（）根据函数图形得，甲、丙两地距离为：

　（千米）． （）①设高速列车离乙地的路程与行驶时间之间， 的函数关系式：， 把，代入得， ， 解得：， ∴． ②当时，设， 把，代入得， ， 解得：， ∴， ∴．

　21．将正方形纸片折叠，使顶点与边上的点重合，折痕交于，交于，连 接、，边折叠后与边交于点，连接、． （）依题意补全图形．

　（）猜想的度数为__________（精确到）． （）比较在（）中所作出的线段与的大小关系为__________． 证明过程如下：

　【答案】（）见解析；（）；（） 【解析】解：（） （）， （）， 证：过作交于， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵与关于对称， ∴于， ∴， ∵， ． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴．

　22．如图，在矩形中，已知，两点的坐标分别为、，为的中点，设点 是平分线上的一个动点（不与点重合）． （）试证明：无论点运动到何处，总与相等． （）当点运动到与点的距离最小时，求的坐标． （3）己知，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长．

　 【答案】见解析 【解析】解：（）∵，，为的中点， ∴点坐标为， ∴， 又∵点是平分线上的一个动点， ∴， ∴≌， ∴， 即无论点运动到何处，， （）过作垂直的平分线于点，

　过点作轴于，交于点， 交于点， ∵平分， ∴， ∴、和都是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标． （）解：连交的平分线于点， 连、、，如图，

　∵，平分直角． ∴垂直平分， ∴， ∴， 此时，周长最小， 设直线的解析式为， 把，代入， 解得， ∴直线的解析式为， 而点的横纵坐标相等，设． 把点坐标代入得， ∴， ∵，， ∴周长为．

　23．已知：如图，在中，，于点，为中点，求证：．

　 【答案】见解析 【解析】解：取的中点，连接，．

　∵为的中点， ∴为的中位线， ∴，且， ∴，又， ∴， ∵为的外角， ∴， 又为斜边上中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．

　四、附加（共20分） 1．平行四边形中点、分别是边和边的中点，将沿翻折，点落在点， 点落在点处． （）依题意补全图形． （）若，则__________． （）当平行四边形满足下列哪个条件时，点刚好与点重合__________．

　①

　 ②

　 ③

　 ④

　 【答案】（）见解析（） （）④ 【解析】（）如图 （）， ∵平行四边形， ∴， ∵、为，中点， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴． （）④ 当与重合， 则于， ∵，是，中点， ∴， ∴， ∴．

　 2．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从地出发沿一条公路匀速前往地，设乙行驶 的时间为，甲乙两人之间的距离为，与的函数关系如图所示，方成思考后发现了图的部分正确信息，乙先出发，甲出发小时与乙相遇，请你帮助方成同学解决以下问题：

　（）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （）当时，求的取值范围． （）分别求出甲、乙行驶的路程、与时间的函数表达式，并在图所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．【注意有文字】 （）丙骑摩托车与乙同时出发，从地沿同一条公路匀速前往地，若丙经过与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇．

　 【答案】见解析 【解析】解：（）直线的函数解析式为， 把，代入得， 得，∴直线解析式为． 设直线的函数解析式为． 把，代入得， 解得， ∴直线函数解析式为：， （）设甲的速度为，乙的速度为， ， 计算得， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∴函数解析式为， 所以的纵坐标为， 时，，将． ，得， （）由题意得：，【注意有文字】 ，【注意有文字】

　（）当时，， 丙距地的路程与时间的函数表达式为：． ， 所以丙出发与甲相遇．

　3．在中，，，为边上的中线．在中，， ，．连接，，分别为线段，的中点，连接． （）如图，点在内，求证：． （）如图，点在外，依题意补全图，连接，，判断与的数量关系 与位置关系，并加以证明．

　【答案】见解析 【解析】解（）∵中， 是边上的中线， ∴， ∵、分别为线段，的中点， ∴， ∴． （）如图．

　连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴且， 同理且， 又∵，是，中点， ∴且， 且， ∴，， 又∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴≌， ∴， ∴， ∵中， ， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴．