曹永吉，吴秋伟，张恒旭，李常刚

（1. 丹麦科技大学电气工程系电力与能源中心，灵比 2800，丹麦；
2. 清华大学深圳国际研究生院清华-伯克利深圳学院，广东省 深圳市 518055；
3. 电网智能化调度与控制教育部重点实验室（山东大学），山东省 济南市 250061）

在“碳中和·碳达峰”目标的驱动下，可再生能源快速发展成为必然，导致新型电力系统的等效惯量降低，有功功率控制资源减少，频率稳定控制面临巨大挑战［1-3］。储能系统（energy storage system，ESS）的可控性强、响应速度快，是一种较好的灵活性资源［4］。将ESS 纳入安全稳定控制三道防线（简称“三道防线”），利用其灵活性来增强频率稳定控制能力，是支撑新型电力系统的关键之一［5-6］。因此，如何在ESS 优化配置中计及频率稳定是亟须解决的问题。

目前，ESS 的设备成本还相对较高，其优化配置一般从经济性的角度出发，需要着重考虑配置方案能够带来的运行效益［7］。现有研究在ESS 配置中大多将峰谷套利作为主要的盈利方式，利用ESS 的灵活性调节净负荷曲线，并结合分时电价来获取收益［7-11］。其中，文献［7］评估ESS 削峰填谷对工业用电成本的影响，提出以经济性为目标的配置方法。文献［8］考虑日前分时电价，构建ESS 和分布式电源容量联合优化模型，并利用遗传算法和模式搜索算法求解。文献［9］在风电场中配置ESS 以提高收益，并计及了风电出力和电价的不确定性。文献［10］构建双层优化模型，通过对分时电价和ESS 容量的协调优化促进可再生能源消纳。文献［11］以最大化ESS 峰谷套利和投资成本之比为目标，提出基于解耦算法的容量优化方法。

针对频率场景的ESS 优化配置主要考虑系统正常运行下的频率调节［12-14］和扰动事故后的暂态频率控制［15-16］。其中，文献［12］设计ESS 参与一次调频的充放电策略，并以调频效果和经济性最优为目标配置ESS 容量。文献［13］利用ESS 提升系统的自动发电控制（automatic generation control，AGC）能力，提出综合AGC 响应速度和收益的容量配置方法。文献［14］分析ESS 接入对系统调频成本的影响，构建容量优化模型，并采用遗传算法求解。文献［15］将ESS 应用于三道防线，探讨计及暂态频率偏移的ESS 容量配置的技术要点。文献［16］综合考虑系统暂态调频能力和可再生能源波动，提出多目标优化配置方法。

文献［17］将三道防线中的第一道防线细分为规划建设、预防控制和继电保护。文献［3］探讨分布式能源与三道防线间的交互机制，指出目前研究侧重于正常运行场景，对安全稳定方面的研究相对较少。将不同时间尺度的规划建设与安全稳定问题结合，在ESS 配置中考虑频率控制能力，是十分必要的。本文主要针对文献［3］中的研究展望2），尝试为如何权衡不同时间尺度的规划、运行经济性与暂态响应能力间的矛盾以及如何将以ESS 为代表的可控资源纳入第一道防线提供一种方案。

为解决上述问题，本文提出一种ESS 容量机会约束优化配置方法。利用扩展系统频率响应（extended system frequency response，ESFR）模型和基于最大仿射函数的分段线性化（max-affine function-based piecewise linearization，MAF-PWL）方法提取ESS 与系统最大暂态频率偏移（maximum transient frequency deviation，MTFD）间 的 耦 合 关系。综合考虑ESS 的投资成本、运行收益和系统的频率动态特性，建立多目标机会约束优化模型，并采用线性加权方法和基于蒙特卡洛模拟的非线性递减惯性权重粒子群优化（nonlinear decreasing inertia weight-based particle swarm optimization，NDIWPSO）算法求解。

1.1 含ESS 动态特性的ESFR 模型

系统频率响应（system frequency response，SFR）模型可表示为［18］:

式中:ΔPg为机组出力变化量；
s为Laplace 算子；
Km为等效增益系数；
FH为等效的高压缸发电比例；
TR为等效时间常数；
ΔPS为AGC 指令的变化量；
Δf为系统惯性中心（center of inertia，COI）频率偏移量；
Rg为等效下垂系数；
ΔPL为扰动功率；
H为等效惯性系数；
D为等效阻尼系数。

ESS 以下垂控制的方式参与频率动态响应，即

式中:ΔPe为ESS 输出功率变化量；
Te为ESS 下垂控制的时间常数；
Re为ESS 的下垂系数。

由式（1）—式（3）整理可得ESFR 模型如附录A图A1 所示，可表示为:

式中:Re，q为ESS 的等效下垂系数，且

式 中:Se为ESS 的 容 量；
Sg，i为 机 组i的 容 量；
ns为 机组数量。

1.2 ESFR 模型特性分析与MTFD 估计

在频率稳定控制中，AGC 不动作，并将扰动事故表示为阶跃响应。由式（4）可得:

在系统过渡到MTFD 的过程中，机组功率响应可简化为一阶模型ΔPG(s)［19］，即

式中:RG为机组等效下垂系数；
TG为机组等效时间常数，且有

将式（7）代入式（6），整理可得［20］:

式中:ka、ωa和ξa为辅助变量，如附录B 式（B1）—式（B5）所示。

基于Laplace 逆变换，由式（9）整理可得:

式 中:ks，0～ks，4为 辅 助 变 量，如 附 录B 式（B6）—式（B10）所示。

取式（10）关于t的一阶微分，并令其为0，整理可得MTFD 对应的时间tm为:

将 式（11）代 入 式（10），整 理 可 得MTFD（Δfm）为:

1.3 基于MAF-PWL 方法的MTFD 约束构造

在预想事故场景下，系统的MTFD 应尽量不超过低频减载（under-frequency load shedding，UFLS）首轮的动作频率［21］。因此，将MTFD 不超过UFLS首轮频率阈值fu作为考核指标，即

式中:fN为系统的额定频率。

由式（4）和式（5）可得，频率动态响应Δf为扰动功率ΔPL和ESS 容量Se的函 数，则Δfm可表示为函数Gn（∙）的形式，即

基于MAF-PWL 方法，对参数空间Sa，将(ΔPL，i，Se，i)∈Sa划 分 为Np个 子 空 间［22］。在 任 意 参数子空间Sa，j（j=1，2，…，Np）内，函数gj（∙）为:

式中:αa，j、αb，j和βj为参数子空间Sa，j的线性化参数。

由函数gj(∙)组成的最大仿射函数Gm(∙)为:

由式（14）和式（16）可得线性化参数αa，j、αb，j和βj表示为:

为关联频率动态响应与ESS 容量配置模型，将约束式（13）转化为关于ESS 参数的约束，将式（15）代入式（13），整理可得:

式中:kt为裕度系数。

由式（5）可得，在频率动态响应过程中，ESS 的最大输出功率Pf，max为:

ESS 的有功功率备用Pf，r应不低于需要的最大输出功率Pf，max，则由式（19）可得:

ESS 的能量备用Ef，r需要保障其在频率动态响应过程中维持持续的功率输出，则由式（20）可得:

式中:tc为扰动事故后ESS 提供有功功率支撑的持续时间。

综上可得，为限制扰动事故后的MTFD，ESS的配置容量Se、有功功率备用Pf，r和能量备用Ef，r需要分别满足约束条件式（18）、式（20）和式（21）。

2.1 多目标机会约束优化模型

在正常状态下，ESS 以峰谷套利的方式获得收益；
在扰动事故后，ESS 能够为系统提供功率支援，减小MTFD。其中，ESS 提供功率支援的机制主要包括并网导则的约束和市场的补偿激励［3］。因此，在优化模型中，以最小化投资成本和最大化峰谷套利收益为目标，并将满足系统暂态调频能力要求设置为约束条件。

1）目标函数

目标函数f1(∙)为最小化ESS 的投资成本，即

式中:Ne为ESS 单元的配置数量；
cc为ESS 单元的综合成本，计及了功率成本、容量成本和安装费用等。

目标函数f2(∙)为最大化ESS 的运行收益，即

式 中:T为 运 行 周 期；
Pe，c，t为t时 刻 的 充 电 功 率，且Pe，c=［Pe，c，1，Pe，c，2，…，Pe，c，T］；
Pe，d，t为t时刻 的放电功率，且Pe，d=［Pe，d，1，Pe，d，2，…，Pe，d，T］；
pt为t时 刻 的 电价；
Δt为时间间隔；
Pr，t为t时刻的可再生能源功率；
Pl，t为t时 刻 的 负 荷 功 率。

2）约束条件

在系统正常运行状态下，节点的净功率由机组组合平衡。因此，在优化模型中主要考虑ESS 配置容量约束、运行约束和计及MTFD 后的附加约束，未考虑功率平衡约束。

ESS 配置容量约束为:

式 中:Se，r，min为ESS 的 最 小 配 置 容 量；
Se，r，max为ESS的最大配置容量；
Se，s为ESS 单元的额定容量。

ESS 的运行约束为:

式 中:Be，c，t和Be，d，t为t时 刻 的 辅 助 变 量；
ΔEe，t为t时刻ESS 电量的变化量；
ηe，c为充电效率；
ηe，d为放电效率；
Ee，t和Ee，t−1分 别 为t和t−1 时 刻 的 电 量；
Ee，r，min和Ee，r，max分 别为ESS 单元 的最小和 最大电量。

式（26）—式（34）主要对ESS 的功率和电量进行限制。其中，式（26）—式（30）约束了ESS 的充电和放电功率；
式（31）和式（32）为ESS 电量的变化；
式（33）限制了t时刻电量的极值；
式（34）令一个运行周期后的电量能够恢复到初始值。

由于扰动事故具有不确定性，扰动功率ΔPL为随机变量，允许在较小的概率γ下违反MTFD 约束，能够在一定程度上降低系统对ESS 容量和运行状态的要求。由式（18）构建机会约束可得:式中:Pr {∙}为事件发生的概率；
γ为违反概率阈值；
1 −γ为置信水平，衡量了频率稳定目标的重要程度。

由式（20）和式（21）可得，ESS 的放电功率Pe，d，t和电量Ee，t应满足:

综上可得，ESS 容量优化配置模型的目标函数为最小化投资成本（式（22））和最大化运行收益（式（23））；
约束条件包含ESS 配置容量约束、运行约束和计及MTFD 后的附加约束，分别对应式（24）和式（25）、式（26）—式（34）和式（35）—式（37）。

2.2 求解方法

利用线性加权法将多个优化目标转换为单一的目标函数fm(∙)。由式（22）和式（23）可得:

式中:cw为线性加权系数，用于衡量各优化目标的重要程度，可由熵权法［23］等方法确定。

由式（38）可得，单目标优化模型为:

利用基于蒙特卡洛模拟的NDIW-PSO 算法求解优化模型式（39）。在迭代过程中，粒子的速度和位置为:

式中:vp，q和vp，q+1分别为粒子p在第q和q+1 次迭代时的速度；
wc，q为第q次迭代时的惯性权重系数；
c1和c2为学习因子；
r1和r2为均匀分布的随机数，且r1，r2∈［0，1］；
gl，p，q为粒子p在第q次迭代时的局部最优位置；
go，p，q为第q次迭代时种群的全局最优位置；
xp，q和xp，q+1分 别 为 粒 子p在 第q和q+1 次 迭 代 时 的位置。

在迭代过程中，惯性权重系数wc，q为［24］:

式中:wc，f和wc，t分别为终止和起始惯性权重系数；
NT为最大迭代次数；
m为非线性调制系数。

基于蒙特卡洛方法，根据扰动功率ΔPL的概率分布生成Nd组场景。在迭代过程中，检验并统计满足确定性约束式（18）的次数Nm，满足概率为Pf=Nm/Nd。由切比雪夫不等式可得，若Pf≥1 −γ，则机会约束式（35）满足。因此，提出的ESS 容量优化配置方法如图1 所示。

图1 ESS 容量多目标机会约束优化配置方法Fig.1 Multi-objective chance-constrained optimal configuration method for ESS capacity

3.1 算例数据

以改进的IEEE 39 节点系统为算例，如图2 所示。在该系统的节点14 处接入ESS、风电、光伏和就地负荷，如图中红框部分所示；
其中，风电装机容量为700 MW，光伏装机容量为400 MW。

图2 改进的IEEE 39 节点系统Fig.2 Modified IEEE 39-bus system

风电、光伏和就地负荷的典型日数据如附录A图A2 所 示，分 时 电 价 如 附 录C 表C1 所 示。ESS 单元的投资成本cc为920 元，相关参数如附录C 表C2所示。系统的额定频率fN为60 Hz，UFLS 首轮的动作频率fu为59.20 Hz。扰动功率ΔPL的概率分布如附录A 图A3 所示［25］。

时域仿真软件采用PSS/E 34.1.0，仿真时长为15 s。ESS 的 运 行 周 期T为24 h，时 间 间 隔Δt为15 min，初始电量设置为0.5Ee，sNe，ESS 提供功率支撑的持续时间tc为30 s。MAF-PWL 方法的子空间个数Np为50，裕度系数kt为1.2，违反概率阈值γ为10%，置信水平1 −γ为90%，线性加权系数cw为10，学 习 因 子c1和c2为2，终 止 惯 性 权 重 系 数wc，f为0.2，起始惯性权重系数wc，t为0.5，最大迭代次数NT为500，非线性调制系数m为1.2，随机场景组数Nd为1 000，粒子种群数为50。

3.2 优化配置结果

为求解机会约束优化模型，利用蒙特卡洛方法生成1 000 组扰动功率ΔPL，如附录A 图A4 所示。通过优化计算可得，ESS 单元配置数量Ne为18 970，容量Se为379.4 MW，目标函数fm为2.43×107，投资成本为1.75×107元，日峰谷套利收益为6.75×105元。ESS 的运行功率及配置ESS 前后节点14 位置处的净负荷如图3 所示。

由图3 可得，在未配置ESS 时，净负荷电费为1.88×105元。相比之下，配置ESS 后的峰谷套利收益为6.75×105元，相对提升8.63×105元。上述结果表明，所提方法能够在电网正常运行条件下，通过平移负荷来进行峰谷套利，提高运行收益，验证了其有效性。

图3 典型日场景下的运行功率Fig.3 Operation power in scenario of a typical day

将扰动事故位置设置为节点27，并将12:00 的系统潮流断面设置为扰动前状态。由PSS/E 仿真计算系统的COI 频率动态响应轨迹如附录A 图A5所示，对应的MTFD 如图4 所示。机会约束的满足次数Nm为919，满足概率Pf为91.90%，大于机会约束的置信水平90%。上述结果表明，所提方法能够满足机会约束的要求，在电网遭受扰动事故后，提供有效的功率支撑，减小MTFD，验证了其性能。

图4 所提方法作用下的系统MTFDFig.4 System MTFD with the proposed method

3.3 性能对比分析

为了提高对比分析结果的可靠性，避免采用与模型求解时相同的扰动事故场景集合，利用蒙特卡洛方法重新生成400 组扰动功率ΔPL，如附录A 图A6 所示。将所提方法与文献［16］中的确定性方法进行对比分析。由确定性方法可得，ESS 单元配置数量Ne为46 044，容量Se为920.9 MW，目标函数fm为6.14×107，投资成本为4.24×107元，日运行收益为1.91×106元。

在确定性方法的作用下，ESS 配置容量由379.4 MW 增加为920.9 MW，增加了541.5 MW；
投资成本由1.75×107元增长为4.24×107元，增长了2.49×107元。虽然日运行收益由6.75×105元变为1.91×106元，但确定性方法的配置容量和投资成本的增幅均较大，目标函数fm由2.43×107增长为6.14×107。上述结果表明，所提方法的投资成本和目标函数值fm均明显优于确定性方法，具有较好的经济效益。

将扰动事故位置设置为节点24，计算在所提方法、确定性方法及未配置ESS 方案下的系统MTFD，如图5 所示。其中，所提方法和确定性方法对应的约束满足次数Nm分别为363 和400，满足概率分别为91.75%和100%，均大于机会约束的置信水平90%。未配置ESS 的方案对应的约束满足次数Nm为322，满足概率为80.50%，小于机会约束的置信水平90%。

图5 不同方法作用下的系统MTFDFig.5 System MTFD with different methods

相较于未配置ESS 的方案，所提方法和确定性方法能够在扰动事故后为电网提供有效的功率支撑，减小MTFD，满足机会约束。但是，确定性方法的ESS 配置容量增加541.5 MW，投资成本增长142.29%，经济性较低。相比之下，所提方法能够通过调节机会约束的置信水平来权衡投资成本和频率稳定控制能力，以较好地满足决策需要，灵活性和经济性较高。当机会约束的置信水平1 −γ设置为100%时，所提方法的规划结果和性能与确定性方法相同。

为保障系统频率稳定控制资源的充足性，提出一种考虑分时电价和MTFD 的ESS 容量优化配置方法。基于ESFR 模型和MAF-PWL 方法构造MTFD 约束，建立机会约束优化模型，并利用线性加权方法和基于蒙特卡洛模拟的NDIW-PSO 算法求解。算例分析表明，所提方法能够较为灵活地权衡经济性和频率控制能力，利用分时电价提高运行收益，并减小扰动事故后的MTFD。

本文未考虑ESS 等参与系统安全稳定控制的奖惩方案，下一步将对该问题开展重点研究。

附录见本刊网络版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），扫英文摘要后二维码可以阅读网络全文。

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