2020届市高三上学期第一次诊断性检测数学（理）试题 一、单选题 1．若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得复数z1与的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求． 【详解】 ∵复数z1与（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z1与（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝． 故选：B． 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．已知集合，，若，则实数的值为( ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】 集合，，且，所以或. 故选：D 【点睛】 本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题． 3．若，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得，再利用倍角公式求得的值． 【详解】 ，，得， . 故选：C 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题． 4．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类“的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可. 【详解】 在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为：. 故选：A 【点评】 本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题． 5．设等差数列的前项和为，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论. 【详解】 由等差数列的前项和为，＝＝，且，∴＝×3＝. 故选：D． 【点睛】 本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A．若，，且，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】C 【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】 由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；

由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；

由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；

由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7．的展开式的常数项为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出． 【详解】 的展开式的通项公式为：Tr+1＝（）6﹣r=（）6﹣r= ． 令6﹣2r＝﹣2，或6﹣2r＝0，分别解得r＝4，或r＝3． 所以的展开式的常数项为+2×＝ 故选：B 【点睛】 本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝的图象. 故选：A． 【点睛】 本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可. 【详解】 由抛物线方程，得其准线方程为：，设，， 由抛物线的性质得，，中点的横坐标为， 线段的中点到轴的距离为：. 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10．已知，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1． 【详解】 ∵＝，且=＝，∴，．∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题． 11．已知定义在上的数满足，当时.若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称，利用当时，画出函数y＝f（x）的大致图象．由题意转化为y＝k（x﹣2）+e﹣1与f（x）有三个交点，直线恒过定点（2，e﹣1），再根据数形结合法可得k的取值范围． 【详解】 由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex． ①令f′（x）＝0，解得x＝0；
②令f′（x）＜0，解得x＜0；
③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2． ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增， 在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；
x→﹣∞，f（x）→0． 又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称． ∴函数y＝f（x）的大致图象如图所示：
关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1． 而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意， 当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切． ∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点． 实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题． 12．如图，在边长为的正方形中，线段BC的端点分别在边、上滑动，且，现将，分别沿AB，AC折起使点重合，重合后记为点，得到三被锥.现有以下结论：
①平面；

②当分别为、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为；

③的取值范围为；

④三棱锥体积的最大值为. 则正确的结论的个数为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意得,折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC，由线面垂直的判断定理得①正确；
三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝2、BP＝CP＝1，得外接球的半径R＝，由此得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，故②正确；
由题意得，，，在中，由边长关系得，故③正确；
由等体积转化计算即可，故④错误. 【详解】 由题意得，折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC， 在①中，由PAPB，PAPC，且PB PC，所以平面成立，故①正确；

在②中，当分别为、的中点时，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P﹣ABC的外接球直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP＝2、BP＝CP＝， 得外接球的半径R＝，所以外接球的表面积为，故②正确；

在③中，正方形的边长为2，所以，，，在中，由边长关系得+，解得，故③正确；

在④中，正方形的边长为2，且，则， 所以在上递减，无最大值，故④错误. 故选：C 【点睛】 本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题． 二、填空题 13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______. 【答案】6 【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【详解】 作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分） 由得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z， 由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大． 由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6. 故答案为：6． 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题． 14．设正项等比数列满足，，则_______. 【答案】 【解析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到an． 【详解】 在正项等比数列中，，， 得，解得，∴an＝＝3•3n﹣1＝3n. 故答案为：3n 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题． 15．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为_______. 【答案】 【解析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角即可． 【详解】 ∵平面向量，满足，，且，∴，∴． 设向量与的夹角的大小为θ，则 2••cosθ＝，求得 cosθ＝，∵ ，故θ＝. 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题． 16．已知直线与双曲线相交于不同的两点，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】取双曲线的右焦点，连接A，B，可得四边形ABF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值． 【详解】 设|BF|＝m，则|，取双曲线的右焦点，连接A，B，可得四边形ABF为平行四边形， 可得|A|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝． 故答案为：． 【点睛】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题． 三、解答题 17．在中，角的对边分别为，且. （1）求的值；

（2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1）；
（2） 【解析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值． （2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长． 【详解】 （1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝， ∴在△ABC中，sinA＝＝． （2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6， 又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6， ，所以周长为. 【点睛】 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族“，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人. （1）完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族“与“性别“有关；

属于“追光族“ 属于“观望者“ 合计 女性员工 男性员工 合计 100 （2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求的分布列及数学期望. 附，其中 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族“与“性别“有关；
（2）分布列见解析， 【解析】（1）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；

（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】 （1）由题意得，2×2列联表如下：
属于“追光族“ 属于“观望者“ 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计 40 60 100 ，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族“与“性别“有关；

（2）由题意得，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3， ；

；

；

. 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 【点睛】 本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题． 19．如图，在四棱锥 中，平面，底面为菱形，且，为的中点. （1）证明：平面；

（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；
（2） 【解析】（1）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面PAE；

（2）以P为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP与平面CDP的法向量计算即可. 【详解】 （1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形， 因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；

（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB＝， 由（1）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝， 如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，PA两两互相垂直， 以P为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1）， 设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0）， 由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0）， 设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1）， 由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2）， 所以，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为． 【点睛】 本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20．已知函数， （1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：， 【答案】（1）答案不唯一，见解析；
（2）见解析；

【解析】（1）求出导数，讨论a的取值范围，求出单调区间；

（2）由（1）得函数函数在内的最小值为，根据题意转化为在恒成立即可. 【详解】 （1）,因为， 当时，，函数在（0，1）内单调递减，在内单调递增；

当时，即，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，，函数在内单调递增；

当时，即，函数在（0，1）内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

综上：当时，在（0，1）内单调递减，在内单调递增；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，在内单调递增；

当时，在（0，1）内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. （2）当时，由（1）可得函数在内单调递减，在内单调递增， 函数在内的最小值为， 要证：不等式成立， 即证：， 即证：，， 即证：， 令， 则函数在内单调递减，，因为， 则，即当时，成立 则当时，成立. 【点睛】 本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题． 21．已知椭圆:的右焦点为，过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，过点作，垂足为D． （1）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；

（2）证明直线过定点，并求出点的坐标. 【答案】（1）；
（2）证明见解析， 【解析】（1）由题意设直线AB的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围；

（2）由（1）得B，D的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点． 【详解】 （1）由题F（1,0），设直线AB：， 联立，消去x，得， 因为，， 则 所以四边形OAHB的面积， 令 因为（当且仅当t=1即m=0时取等号），所以， 所以四边形OAHB的面积取值范围为；

（2），所以直线BD的斜率，所以直线BD的方程为， 令y=0，可得① 由（1）可得 化简①可得 则直线BD过定点. 【点睛】 本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题． 22．在平面直角坐标系中，已知是曲线：上的动点，将绕点顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线，的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，点，射线与曲线，分别相交于异于极点的两点，求的面积. 【答案】（1）曲线：，曲线：；
（2） 【解析】（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线的距离h＝，即可求得△MAB的面积． 【详解】 （1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：， ∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；

（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2， 又点到射线的距离为 的面积 【点睛】 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题． 23．已知函数 （1）解不等式；

（2）若，求证：
【答案】（1）；
（2）见解析. 【解析】（1）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；

（2）由基本不等式得的最小值，转化为|x+|﹣f（x）≤恒成立即可． 【详解】 （1）原不等式化为，即 ①时，不等式化为，解得；

②时，不等式化为，解得，；

③时，不等式化为，解得，. 综上可得：原不等式解集为. （2）， 当且仅当且时取等号.又， ， 当且仅当时取等号. 【点睛】 考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．