《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案 第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
令，则 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量 有电路原理可知：
既得 写成矢量矩阵形式为：
1-3 参考例子1-3（P19）. 1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有 相应的模拟结构图如下：
1-6 （2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图 解：
1-7 给定下列状态空间表达式 ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：
（2） 1-8 求下列矩阵的特征矢量 （3） 解：A的特征方程 解之得：
当时， 解得：
令 得 （或令，得） 当时， 解得：
令 得 （或令，得） 当时， 解得：
令 得 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解） （2） 解：A的特征方程 当时， 解之得 令 得 当时， 解之得 令 得 当时， 解之得 令 得 约旦标准型 1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s) 试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结 1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：
1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：
1-12 已知差分方程为 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 （1） 解法1：
解法2：
求T,使得 得 所以 所以，状态空间表达式为 第二章习题答案 2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。

（2） A= 解：第一种方法：
令 则 ，即。

求解得到， 当时，特征矢量 由 ，得 即，可令 当时，特征矢量 由，得 即 ，可令 则， 第二种方法，即拉氏反变换法：
第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知， 2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

（3） （4） 解：（3）因为 ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 （4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 2-6 求下列状态空间表达式的解：
初始状态，输入时单位阶跃函数。

解：
因为 ， 2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。

图2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列出状态方程 则离散时间状态空间表达式为 由和得：
当T=1时 当T=0.1时 第三章习题答案 3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示：
解：由图可得：
状态空间表达式为：
由于、、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

（3）系统如下式：
解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。

3-2时不变系统 试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：方法一：
方法二：将系统化为约旦标准形。

， 中有全为零的行，系统不可控。中没有全为0的列，系统可观。

3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数 解：构造能控阵：
要使系统完全能控，则，即 构造能观阵：
要使系统完全能观，则，即 3-4设系统的传递函数是 （1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

解：(1) 方法1 ：
系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

方法2：
系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型 （3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为 3-6已知系统的微分方程为：
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

解：
系统的状态空间表达式为 传递函数为 其对偶系统的状态空间表达式为：
传递函数为 3-9已知系统的传递函数为 试求其能控标准型和能观标准型。

解：
系统的能控标准I型为 能观标准II型为 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

解：
3-11试将下列系统按能控性进行分解 （1） 解：
rankM=2<3，系统不是完全能控的。

构造奇异变换阵：，其中是任意的，只要满足满秩。

即 得 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解 （1） 解：
由已知得 则有 rank N=2<3，该系统不能观 构造非奇异变换矩阵，有 则 3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解 （1） 解：由已知得 rank M=3，则系统能控 rank N=3，则系统能观 所以此系统为能控并且能观系统 取，则 则，， 3-14求下列传递函数阵的最小实现。

（1） 解：
，， ，， 系统能控不能观 取，则 所以， ， 所以最小实现为，，， 验证：
3-15设和是两个能控且能观的系统 （1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；

（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。

解：
（1）和串联 当的输出是的输入时， ， 则rank M=2<3，所以系统不完全能控。

当得输出是的输入时 ， 因为 rank M=3 则系统能控 因为 rank N=2<3 则系统不能观 （2）和并联 ， 因为rank M=3，所以系统完全能控 因为rank N=3，所以系统完全能观 所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致。

第四章习题答案 4-1判断下列二次型函数的符号性质：
（1） （2） 解：（1）由已知得 ，， 因此是负定的 （2）由已知得 ，， 因此不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。

即：
有解，且解具有负实部。

即：
方法（2）：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。

取，令，则带入，得到 若 ，则此方程组有唯一解。即 其中 要求正定，则要求 因此，且 4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。

（1） （2） 解：（1）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则 是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

（2）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则 是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-6设非线性系统状态方程为：
试确定平衡状态的稳定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：
取 很明显，的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，则 是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-9设非线性方程：
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。

解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：
，有。

取 则 ，根据希尔维斯特判据，有：
，的符号无法判断。

（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为，则 是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 解：假设的梯度为：
计算的导数为：
选择参数，试选，于是得：
，显然满足旋度方程，表明上述选择的参数是允许的。则有：
如果，则是负定的，因此，是的约束条件。

计算得到为：
是正定的，因此在范围内，是渐进稳定的。

第五章习题答案 5-1已知系统状态方程为：
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。

解：依题意有：
，系统能控。

系统的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I型，则有。

引入状态反馈后，系统的状态方程为：，其中矩阵，设，则系统的特征多项式为：
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
比较各对应项系数，可解得：则有：。

5-3有系统：
（1） 画出模拟结构图。

（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。

解（1）系统模拟结构图如下：
（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控。

对于系统有：
，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。

（3）系统的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I型，则有。

引入状态反馈后，系统的状态方程为：，设，则系统的特征多项式为：
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
比较各对应项系数，可解得：。

5-4设系统传递函数为 试问能否利用状态反馈将传递函数变成 若有可能，试求出状态反馈，并画出系统结构图。

解：
由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。

能控标准I型为 令为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为 由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为 比较与的对应项系数，可得 即 系统结构图如下：
5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。

（1） 解：系统的能控阵为：
，系统能控。

由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。又由于，系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。

5-7设计一个前馈补偿器，使系统 解耦，且解耦后的极点为。

解：
5-10已知系统：
试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0)。

解：因为满秩，系统能观，可构造观测器。

系统特征多项式为，所以有 于是 引入反馈阵，使得观测器特征多项式：
根据期望极点得期望特征式：
比较与各项系数得：
即，反变换到x状态下 观测器方程为：
5-13 类似于5-12，设计略。