2006年湖南高考试卷 科目：数学（文史类） （试题卷） 注意事项：

　 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

　 2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：

　（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。

　（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。

　（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。

　3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

　4. 本试卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。

　 姓　　名　　　　　　　　　　 　　　　　准考证号　　　　　　　　　　

　 绝密★启用前

　数　学（文史类） 本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参考公式:

　如果事件、互斥，那么

　如果事件、相互独立，那么

　如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是

　 球的体积公式 ,球的表面积公式，其中表示球的半径

　一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是 　 A．(0,1］　　　　　B. (0,+∞)　　　　C. (1,+∞)　　　　D. ［1,+∞) 2．已知向量若时，∥；时，，则 　 A．　　　　　

　B. 　　　 C. 　　

　D.

　3. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 　 A．-2　　　　

　 　B. 　　

　 　　C.

　　　　　D. 2 4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是

　A．π　　　　　　　

　B. 2π　　　　

　C.　3π　　

　　　D.

　5．“a=1”是“函数在区间［1，＋∞）上为增函数”的 　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　 B. 必要不充分条件 　 C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　

　D. 既不充分也不必要条件 6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A．6

　　　　　B. 12

　 　　　　C. 18　　　

　D. 24 7．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 A．36

　　　　 B. 18

　　　　　 C.

　D.

　8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是 A．2π

　　　　　B. π

　 　　　　C. 　　　

　D.

　9．过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是 A．

　　　　 B.

　　　 C. 　　　

　 D.

　A B O M 图1 10. 如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是 A．　　　　　B.

　C.

　D.

　二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部　对应题号的横上. 11. 若数列满足：，2，3….则　　　　　　. 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　　　　分. 13. 已知则的最小值是　　　　　. 14. 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 15. 若是偶函数，则a=

　.

　 三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）

　已知求θ的值.

　17.（本小题满分１２分）

　某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：

　(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

　18.（本小题满分１4分） Q B C P A D 图2

　如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与 Q-ABCD的高都是2，AB=4.

　 (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

　(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

　(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

　 19.（本小题满分14分）

　已知函数.

　（Ｉ）讨论函数的单调性；

　（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

　 20.（本小题满分14分）

　在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数. （Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式； （Ⅱ）令，证明，n=1,2,….

　21.（本小题满分14分）

　已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点. （Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； 　（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

　参考答案：

　1－10：DCDAABCBCDC 11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .

　 1．函数的定义域是，解得x≥1，选D. 2．向量若时，∥，∴ ；时，，，选C. 3．的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2，选D 4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A. 5．若“”，则函数=在区间上为增函数；而若在区间上为增函数，则0≤a≤1，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A. 6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B. 7．圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C. 8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B. 9．过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,

　联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选D. 10．如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且， 由图知，x<0，当x=－时，即=－，P点在线段DE上，=，=，而<<，∴ 选C. 二．填空题：

　11.； 12. 85；

　13. 5 ；

　14. 6 ；

　15. －3 . 11．数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ . 12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分. 13．已知，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5.

　 14．过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条。

　15．是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。

　16. 解　由已知条件得. 即. 解得. 由0＜θ＜π知，从而. 17. 解　（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是. （Ⅱ）解法一　某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90. 解法二　某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是. (Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是. 18. 解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设. 由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD. 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

　Q B C P A D z y x O 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）. 所以

　于是. 从而异面直线AQ与PB所成的角是. (Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，

　，设是平面QAD的一个法向量，由 得. 取x=1，得. 所以点P到平面QAD的距离. 解法二　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM. 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥， 所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM. 又平面PQM，所以PQ⊥AD. 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD. Q B C P A D O M （Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面. 因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC. 从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角. 因为， 所以. 从而异面直线AQ与PB所成的角是. (Ⅲ)连结OM，则. 所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ. 由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离. 在直角△PMO中，. 即点P到平面QAD的距离是. 19. 解　（Ⅰ）由题设知. 令. 当（i）a>0时， 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； （i i）当a＜0时， 若，则，所以在区间上是减函数；

　若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，. 因为线段AB与x轴有公共点，所以. 即.所以. 故. 解得　－1≤a＜0或3≤a≤4. 即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4]. 20. 解　（Ⅰ）由已知得， 　　.

　 （Ⅱ）因为， 　　　　　所以.

　 又因为， 　　　　　所以 　　　　　　　　　　　　　 =.

　 综上，. 21. 解　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为

　 x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.

　 因为点A在抛物线上，所以，即.

　 此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

　（Ⅱ）解法一　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为. 由消去y得.

　 ……① 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝. A y B O x 因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦， 所以，且 . 从而. 所以，即. 解得. 因为C2的焦点在直线上，所以. 即. 当时，直线AB的方程为； 当时，直线AB的方程为. 解法二　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 为. 由消去y得.

　　　　　　　　 ……① 因为C2的焦点在直线上， 所以，即.代入①有. 即.

　 ……② 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝. 由消去y得.

　 　　……③

　由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝. 从而＝. 解得. 因为C2的焦点在直线上，所以. 即. 当时，直线AB的方程为； 当时，直线AB的方程为.

　解法三　设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点， 所以. 即.

　 ……① 由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率，　　 ……② 且直线AB的方程是, 所以.

　……③ 又因为，所以.

　 ……④

　将①、②、③代入④得，即. 当时，直线AB的方程为； 当时，直线AB的方程为.