第一章实数集与函数

　§1实数

　授课章节：第一章实数集与函数——§1实数

　教学目的：使学生掌握实数的基本性质．

　教学重点：

　 (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

　(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）

　教学难点：实数集的概念及其应用．

　教学方法：讲授．（部分内容自学）

　教学程序：

　 引

　言

　上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．

　[问题]为什么从“实数”开始．

　答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．

　一、实数及其性质

　1、实数

　．

　[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：

　 对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为

　0＝

　例：

　；

　利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？

　2、两实数大小的比较

　1）定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．

　规定：任何非负实数大于任何负实数．

　2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．

　定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，.

　对于负实数，其位不足近似；位过剩近似.

　注：实数的不足近似当增大时不减，即有； 过剩近似当n增大时不增，即有．

　命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）．

　命题应用

　例1．设为实数，，证明存在有理数，满足．

　证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且

　．即．

　3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．

　1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．

　2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.

　3）传递性：，．

　4）阿基米德性：使得．

　5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．

　6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．

　例2．设，证明：若对任何正数，有，则．

　（提示：反证法．利用“有序性”，取）

　二、绝对值与不等式

　1、绝对值的定义

　实数的绝对值的定义为．

　2、几何意义

　从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离．

　3、性质

　1）（非负性）；

　2）；

　3），；

　4）对任何有（三角不等式）；

　5）；

　6）（）．

　三、几个重要不等式

　1、

　2、均值不等式:对记

　 (算术平均值)

　(几何平均值)

　 (调和平均值)

　有平均值不等式:即：

　 等号当且仅当时成立.

　3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)

　有不等式

　当且,且时,有严格不等式

　证：由且

　4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式

　有

　上式右端任何一项.

　［练习］P4．5

　［课堂小结］：实数：.

　[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3

　§2数集和确界原理

　授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理

　教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.

　教学要求：

　 (1)掌握邻域的概念；

　(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

　教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.

　教学难点：确界的定义及其应用.

　教学方法：讲授为主.

　教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.

　引

　言

　上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！

　1、证明：对任何有：(1)；(2)

　.

　（）

　（）

　2、证明：.

　3、设，证明：若对任何正数有，则.

　4、设，证明：存在有理数满足.

　[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.

　本节主要内容：

　 1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；

　2、讨论有界集与无界集；

　3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.

　一 、区间与邻域

　1、 区间（用来表示变量的变化范围）

　设且.，其中

　 2、邻域

　联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？

　（1）的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即

　.

　其中

　（2）点的空心邻域

　.

　（3）的右邻域和点的空心右邻域

　（4）点的左邻域和点的空心左邻域

　（5）邻域，邻域，邻域

　（其中M为充分大的正数）；

　二 、有界集与无界集

　1、 定义1（上、下界）：设为中的一个数集.若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集.数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.

　闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，

　 集合 也是有界数集.

　若数集S不是有界集，则称S为无界集.

　等都是无界数集,

　集合 也是无界数集.

　注：1）上（下）界若存在，不唯一；

　2）上（下）界与S的关系如何？看下例：

　 例1

　讨论数集的有界性.

　解：任取，显然有，所以有下界1；

　但无上界.因为假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.

　综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.

　例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.

　[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个).

　三 、确界与确界原理

　1、定义

　定义2（上确界）　设S是R中的一个数集，若数满足：(1) 对一切

　有（即是S的上界）; (2)

　对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作

　从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.

　命题1 充要条件

　1）；

　2）.

　证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则，与是上界中最小的一个矛盾.

　充分性（用反证法），设不是的上确界，即是上界，但.令，由2），，使得，与是的上界矛盾.

　定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.

　从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.

　命题2 的充要条件：

　 1）；

　2）＞0，＜

　 上确界与下确界统称为确界.

　例3（1）则

　1

　；

　0

　.

　（2）则

　1

　；

　0

　.

　注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

　命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.

　证明：设，且，则不妨设

　有

　对，使，矛盾.

　例： ， ，

　则有.

　开区间与闭区间有相同的上确界与下确界

　例4设和是非空数集，且有则有.

　例5设和是非空数集.若对和都有则有

　证明：是的上界,是的下界,

　例6和为非空数集,试证明:

　证明：有或由和分别是和的下界,有

　或

　即是数集的下界,

　又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有

　于是有.

　综上,有.

　1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.

　2. 确界与最值的关系:设 为数集.

　（1）的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.

　（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.

　（3）若存在,必有对下确界有类似的结论.

　4. 确界原理:

　Th1.1(确界原理).设非空的数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.

　这里我们给一个可以接受的说明 非空，，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界.

　证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得

　1），有；

　2）存在，有；

　把区间10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得

　1），有；；

　2）存在，使得．

　再对开区间10等分，同理存在，使得

　1）对任何，有；

　2）存在，使

　继续重复此步骤，知对任何，存在使得

　1）对任何，；

　2）存在，．

　因此得到．以下证明．

　（ⅰ）对任意，；

　（ⅱ）对任何，存在使．

　［作业］：P9

　1（1），（2）；　2； 4（2）、（4）；７

　§3函数概念

　授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念

　教学目的：使学生深刻理解函数概念.

　教学要求：

　 （１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；

　（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.

　教学重点：函数的概念.

　教学难点：初等函数复合关系的分析.

　教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.

　教学程序：

　 引

　言

　关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.

　一、函数的定义

　１．定义１

　设，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作

　.

　数集称为函数的定义域，所对应的，称为在点的函数值，记为.全体函数值的集合称为函数的值域，记作.

　即.

　２．几点说明

　（1）函数定义的记号中“”表示按法则建立到的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作.习惯上称自变量，为因变量.

　（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：.

　由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.

　例如：1） （不相同，对应法则相同，定义域不同）

　2） （相同，只是对应法则的表达形式不同）.

　（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数.即“函数”或“函数”.

　（4）“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象.称为的原象.

　（5）函数定义中，，只能有唯一的一个值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个值，可以对应多于一个值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.

　二 、函数的表示方法

　1

　主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.

　2

　可用“特殊方法”来表示的函数.

　1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.

　例如　　，（符号函数）

　（借助于sgnx可表示即）.

　2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）

　例

　 １）（取整函数）

　比如：

　[3.5]=3,

　 [3]=3,

　[-3.5]=-4.

　常有 , 即.

　与此有关一个的函数（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.

　２）狄利克雷（Dirichlet）函数

　这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.

　３）黎曼（Riemman）函数

　三

　函数的四则运算

　给定两个函数，记，并设，定义与在上的和、差、积运算如下：

　 ；；.

　若在中除去使的值，即令，可在上定义与的商运算如下；.

　注：１）若，则与不能进行四则运算.

　２）为叙述方便，函数与的和、差、积、商常分别写为：.

　四、复合运算

　１．引言

　在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.

　例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率为

　.

　抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数，把代入，即得

　.

　这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.

　[问题]

　任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；

　.

　就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.

　 2．定义（复合函数）

　设有两个函数，，若，则对每一个，通过对应内唯一一个值，而又通过对应唯一一个值，这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，因变量，记作或.简记为.称为函数和的复合函数，并称为外函数，为内函数，为中间变量.

　3. 例子

　例

　 求 并求定义域.

　例

　⑴

　 ⑵

　则

　 A.

　 B.

　 C.

　 D.

　例 讨论函数与函数能否进行复合，求复合函数.

　4

　说明

　１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？

　例如：，复合成：.

　２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.

　①

　②

　③

　五、反函数

　１.引言

　在函数中把叫做自变量，叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：

　那么对于来讲是自变量，但对来讲，是因变量.

　习惯上说函数中是自变量，是因变量，是基于随的变化现时变化.但有时我们不仅要研究随的变化状况，也要研究随的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.

　２.反函数概念

　定义设R是一函数，如果，, 由

　(或由)，则称在上是 1-1 的.

　若，，称为满的.

　若 是满的 1-1 的，则称为1-1对应.

　R是1-1 的意味着对固定至多有一个解，是1-1 的意味着对，有且仅有一个解.

　定义

　设是1-1对应., 由唯一确定一个, 由这种对应法则所确定的函数称为的反函数，记为.

　反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

　 显然有

　(恒等变换）

　 (恒等变换)

　.

　0

　x

　y

　从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 , 这样它的图形与 的图形是关于对角线对称的.

　严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.

　 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子

　 它的反函数即为它自己.

　实际求反函数问题可分为二步进行：

　 1. 确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件.固定 ，解方程

　得出 .

　2. 按习惯，自变量、因变量互换，得 .

　例

　求

　：R

　R的反函数.

　解

　固定，为解 ，令 ，方程变为

　( 舍去)

　得，即，称为反双曲正弦.

　定理

　给定函数，其定义域和值域分别记为和，

　若在上存在函数，使得 , 则有.

　分析：要证两层结论：一是的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证.

　 证 要证的反函数存在，只要证是到的 1-1 对应.

　，，若， 则由定理条件，我们有

　 ，即

　是 1-1 对应.

　再证.，，使得.

　由反函数定义 ，再由定理条件

　.

　例 ，若存在唯一（）不动点，则也不动点.

　证

　存在性，设，，

　即是的不动点，由唯一性，

　即存在的不动点.

　唯一性：

　设，，

　说明 是的不动点，由唯一性，=.

　从映射的观点看函数.

　设函数.满足：对于值域中的每一个值，Ｄ中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作

　或.

　３、注释

　a)

　并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数有反函数，意味着是Ｄ与之间的一个一一映射，称为映射的逆映射，它把；

　b)

　函数与互为反函数，并有:

　 c)

　在反函数的表示中，是以为自变量，为因变量.若按习惯做法用做为自变量的记号，作为因变量的记号，则函数的反函数可以改写为

　应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.

　六 、初等函数

　1.基本初等函数（６类）

　常量函数　　（Ｃ为常数）；

　幂函数　　；

　指数函数；

　对数函数　　；

　三角函数　　；

　反三角函数　　.

　注：幂函数和指数函数都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.

　定义２．给定实数，设为无理数，我们规定：

　 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义的缺陷．

　[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”

　２．初等函数

　定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数

　如：

　 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数.

　注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.

　例２．求下列函数的定义域.

　（１）　；

　（２）　

　3.初等函数的几个特例:

　设函数和都是初等函数, 则

　（1）是初等函数,

　因为

　 （2） 和 都是初等函数,

　因为

　,

　 .

　（3）幂指函数 是初等函数,因为

　［作业］

　：　3；4:（２）、（３）；　5:（２）；　7:（３）；11

　§4具有某些特性的函数

　授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数

　教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.

　教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；

　会求一些简单周期函数的周期.

　教学重点：函数的有界性、单调性.

　教学难点：周期函数周期的计算、验证.

　教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.

　教学程序：

　 引

　言

　在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.

　一、有界函数

　1、有上界函数、有下界函数的定义

　定义1设为定义在D上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为D上的有上（下）界函数，称为在D上的一个上（下）界.

　注：（1）在D上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；

　（2）又若为在D上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；

　（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；

　（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：

　 在D上有界是一个有界集在D上既有上界又有下界在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.

　2、有界函数定义

　定义2设为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个有，则称为D上的有界函数.

　注：（1）几何意义：为D上的有界函数，则的图象完全落在和之间；

　（2）在D上有界在D上既有上界又有下界；例子：；

　（3）关于函数在D上无上界、无下界或无界的定义.

　3、 例题

　例1 证明有界的充要条件为：,，使得对,.

　证明 如果有界，按定义>0，有，即,取,即可.

　反之如果,使得，令，则，即，使得对有，即有界.

　例2．证明　为上的无上界函数.

　例3．设为D上的有界函数.证明：（1）；

　（2）.

　例4验证函数 在内有界.

　解法一

　由当时,有

　 ,

　对

　总有

　即在内有界.

　解法二

　令 关于的二次方程 有实数根.

　解法三

　令 对应 于是

　二、单调函数

　 定义3设为定义在D上的函数， （1）若，则称为D上的增函数；若，则称为D上的严格增函数.（2）若，则称为D上的减函数；若，则称为D上的严格减函数.

　例5．证明：在上是严格增函数.

　证明：设，

　如，则

　如，则

　故即得证.

　例6．讨论函数在上的单调性.

　，当时，有，但此函数在上的不是严格增函数.

　注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；

　2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.

　总结得下面的结论：

　 定理1．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数.

　证明：设在上严格增函数.对.下面证明这样的只有一个.事实上，对于内任一由于在上严格增函数，当时，当时，总之.即，从而

　例7　讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？

　结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.

　例8 证明：当时在Ｒ上严格增，当时在上严格递减.

　三、奇函数和偶函数

　定义4.

　设D为对称于原点的数集，为定义在D上的函数.若对每一个有（1），则称为D上的奇函数；（2），则称为D上的偶函数.

　注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；

　（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性.

　（3）从奇偶性角度对函数分类：；

　（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数

　1、定义

　设为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期.

　2、几点说明：

　 （1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一.如.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，简称“周期”.如

　，周期为；

　（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1），不是周期函数；2）（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.

　第二章数列极限

　引

　言

　为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.

　在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知：），但这两个公式从何而来？

　要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.

　问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.

　辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.

　按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正边形.易知，正边形周长为

　显然，这个不会等于.然而，从几何直观上可以看出，只要正边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长. 越大，近似程度越高.

　但是，不论多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.

　为了从近似值过渡到精确值，我们自然让无限地增大，记为.直观上很明显，当时，，记成.——极限思想.

　即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是——无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.

　除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.

　§1数列极限的概念

　教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题.

　教学要求：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明数列的有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.

　教学重点：数列极限的概念.

　教学难点：数列极限的定义及其应用.

　教学方法：讲授为主.

　教学程序：

　 一、什么是数列

　1 数列的定义

　数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；

　若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列.

　注：1）根据函数的记号，数列也可记为；

　2）记，则数列就可写作为：，简记为，即；

　3）不严格的说法：说是一个数列.

　2 数列的例子

　（1）；（2）；

　（3）；

　（4）

　二、什么是数列极限

　1．引言

　对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）；

　第1天截下，

　第2天截下，

　第3天截下，

　第天截下，

　得到一个数列：

　不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零.

　一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.

　据此可以说，数列是收敛数列，0是它的极限.

　数列都是发散的数列.

　需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.

　以为例，可观察出该数列具以下特性：

　 随着的无限增大，无限地接近于1随着的无限增大，与1的距离无限减少随着的无限增大，无限减少会任意小，只要充分大.

　如：要使，只要即可；

　　　要使，只要即可；

　任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，.即，当时，.

　如何找Ｎ？（或存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可.这样当时，.

　综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任意给定正数，总存在正整数，当时，有.此即以1为极限的精确定义，记作或.

　2.数列极限的定义

　定义1

　设为数列, 为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于,实数称为数列的极限,并记作

　或.

　(读作:当趋于无穷大时,的极限等于或趋于).由于限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.

　若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.

　[问题]：如何表述没有极限？

　 3.举例说明如何用定义来验证数列极限

　例1.证明: .

　证明: 不妨设,要使

　|－0|<<.

　 只要,取N=

　 则当n>N时,有

　|－0|=≤<

　例2

　求证 .

　证明:

　不妨设，要使

　，只要 （注意这里 ），只要 . 取，则当 时，就有

　，

　即

　.

　例3 求证.

　证法1

　先设，，要使 ， 只要

　，

　 只要

　，只要 .

　取 ， 当 时，就有，即

　.对，令 ，则 .

　证法2

　令，则 ，

　, 要使,

　只要 ，取，只要，就有，即.

　例4

　 证

　.

　证明:

　因为 ，， 要使，只要，取 ，则只要 ，就有，即.

　例5

　证明:

　 注意到对任何正整数时有

　 就有

　于是，对

　取

　 例6

　 证法一

　令

　有

　用Bernoulli不等式，有

　 或

　 证法二

　（用均值不等式）

　 例7

　 证一：

　 时，

　 证二：

　  （二项式展开）

　    因此，，取 ，则当时就有 即

　附：此题请注意以下的错误做法：

　  （注意 不趋于零）

　例8：证明

　证明：由于  （） （*）

　因此，只要取 便有

　由于（*）式是在的条件下成立的，故应取，当时就有 即

　 总结

　用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份.

　4 关于数列的极限的定义的几点说明

　（1）关于：① 的任意性.定义1中的正数的作用在于衡量数列通项与常数的接近程度，越小，表示接近得越好；而正数可以任意小，说明与常数可以接近到任何程度；②的暂时固定性.尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出；③的多值性.既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此定义1中的不等式中的可用等来代替.从而“”可用“”代替；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数.

　（2）关于：① 相应性，一般地，随的变小而变大，因此常把定作，来强调是依赖于的；一经给定，就可以找到一个；②多值性. 的相应性并不意味着是由唯一确定的，因为对给定的，若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的也不必限于自然数，只要是正数即可；而且把“”改为“”也无妨.

　（3）数列极限的几何理解：在定义1中，“当时有”“当时有” “当时有” 所有下标大于的项都落在邻域内；而在之外，数列

　中的项至多只有个（有限个）.反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为，则当时有，即当时有，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：

　 定义

　任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限.

　由此可见：1）若存在某个，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响.

　例1．证明和都是发散数列.

　例2．设，作数列如下：. 证明　.

　例3．设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等.

　三、无穷小数列

　在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

　 定义2　若，则称为无穷小数列.

　如都是无穷小数列.

　数列收敛于的充要条件：

　 定理2.1　数列收敛于 的充要条件是为无穷小数列.

　[作业]

　教材P27

　 3，4，5，7，8⑵.

　§2　收敛数列的性质

　教学内容：第二章 数列极限——§2　收敛数列的性质.

　教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.

　教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

　（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.

　教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用.

　教学难点：数列极限的计算.

　教学方法：讲练结合.

　教学程序：

　 引

　言

　上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.

　一、收敛数列的性质

　性质1（极限唯一性）　若数列收敛，则它的极限唯一.

　证一：假设都是数列的极限，则由极限定义，对，，当

　时，有 ； 时，有

　 取，则当时有

　由的任意性，上式仅当时才成立.

　证二：（反证）假设极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为

　，且故不妨设，取

　由定义，，当时有

　       又，当时有

　 因此，当时有 矛盾，因此极限值必唯一.

　性质2（有界性）如果数列收敛，则必为有界数列.即，使对有

　 证明：设取，使得当时有

　 即 

　 令

　 则有对 即数列有界

　注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如

　②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则随在变，找到的也随在变，界的意义就不明确了.

　性质3（保序性）设，，

　 （1） 若，则存在使得当时有

　（2） 若存在，当时有，则（不等式性质）

　证明：（1）取，则存在，当时

　 从而

　又存在，当时

　当时

　 （2）（反证）如，则由⑴知必当时这与已知矛盾

　推论（保号性）若则，当时.特别地，若，则，当时与同号.

　思考：如把上述定理中的换成，能否把结论改成？

　例：设（），若，则

　证明：由保序性定理可得

　 若，则，，当时有即

　若，则，，当时有

　 数列较为复杂，如何求极限？

　性质4（四则运算法则）若、都收敛，则、、也都收敛，且 ，特别地，，为常数如再有则也收敛，且

　 证明：由于，，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.

　设，，，，当时 ；，当时

　 取，则当时上两式同时成立.

　（1）

　 由收敛数列的有界性，，对有

　故当时，有

　 由的任意性知

　（2）

　 由保号性，及，对有（如可令）

　取，则当时有

　由的任意性得

　 用归纳法，可得有限个序列的四则运算：

　 ，

　 .

　但将上述换成，一般不成立.事实上或本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.

　性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列、、，如，当时有

　，且，则

　证明：，

　当时， ；当时，

　 取，则当时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有时 即

　该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.

　推论：若，当时有（或）且，则

　例：求证（）

　证明：使得，从而当时有

　 由于由推论即可得结论

　例：设，，…，是个正数，证明

　证明：设，则

　，由迫敛性得结论.

　例1：

　 在证明中, 令， ，得，由此推出.

　由此例也看出由和, 也推出.

　例2：

　证明 .

　证明：

　 令 ,

　 ，

　两边夹推出 ，即.

　在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例；

　例3：

　 求极限

　 解

　.

　例4：

　 求极限 .

　解

　.

　例5：

　 例6：求，，，

　解：原式

　即：有理式的极限

　如

　 例7：

　 例8：设，证明 .

　证明：

　.

　二

　数列的子列

　1、引言

　极限是个有效的分析工具.但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道没有一点规律吗？当然不是！　出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.

　2、

　子列的定义

　定义1

　设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列

　称为数列的一个子列，简记为.

　注1

　由定义可见，的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序.简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列）.

　注2

　子列中的表示是中的第项，表示 是中的第k项，即中的第k项就是中的第项，故总有. 特别地，若，则，即.

　注3

　数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列.

　如都是的非平凡子列.由上节例知：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.

　那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

　 定理2.8 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛．

　证明：

　必要性 设是的任一子列．任给，存在正数N，使得当时有由于故当时有，从而也有，这就证明了收敛（且与有相同的极限）．

　充分性 考虑的非平凡子列，与．按假设，它们都收敛．由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性，

　（9）

　又既是又是的子列，同样可得

　 （10）

　（9）式与（10）式给出

　 ．

　所以由课本例7可知收敛．

　由定理2．8的证明可见，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与必收敛于同一个极限．于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散．例如数列其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于，从而发散．再如数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．

　§3　数列极限存在的条件

　教学内容：第二章 数列极限 ——§3　数列极限存在的条件

　教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.

　教学要求：（1）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；

　（2）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性.

　教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用.

　教学难点：相关定理的应用.

　教学方法：讲练结合.

　教学程序：

　 引

　言

　在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限，故可用作为的近似值.

　本节将重点讨论极限的存在性问题.

　为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.

　从收敛数列的有界性可知：若收敛，则为有界数列；但反之不一定对，即有界不足以保证收敛.例如.但直观看来，若有界，又随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.

　为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列.

　一、单调数列

　定义　若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．

　例如：为递减数列；为递增数列；不是单调数列.

　二、单调有界定理

　〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？

　一个数列，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.

　定理（单调有界定理）　在实数系中，有界且单调数列必有极限.

　几何解释：单调数列只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点沿数轴移向无穷远；（2）无限趋于某一个定点，即.

　证明：不妨设单调增加有上界，把看作集合，有确界原理，存在

　即：（1），；（2），使

　由于单调增加，故当时有

　即当时 亦即 #

　例1：，证明数列，，，……，

　，……收敛，并求其极限.

　证明：从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的.

　易见，且，，…，，…

　从而 两端除以得

　 ，故有界即得极限存在

　设，对等式两边取极限，则有

　因为正数列，故，因此取即为所求极限

　例2：求（为一定数，）

　解：记 ，则且 ，则，当时 ，

　故后，单调递减，又有 极限一定存在，设为

　由 两边取极限得 （）

　例3 设

　 证明数列{}收敛.

　例4

　 求

　( 计算的逐次逼近法,

　亦即迭代法 ).

　解：由均值不等式, 有有下界;

　注意到对有 有 ↘,

　三、柯西收敛准则

　1、引言

　单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则.

　2、 Cauchy收敛准则

　定理（Ｃauchy收敛准则）数列收敛的充分必要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有.

　证明：“” 收敛，则存在极限，设，则，，当时有当时有

　 “”先证有界性，取，则，

　特别地，时

　 设 ，则，

　再由致密性定理知，有收敛子列，设

　，，

　，

　取，当时有

　 故

　 列、基本列（满足收敛准则的数列）

　收敛准则的另一表示形式：，，当时，对有

　 3、 说明

　a) Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.

　b) Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.

　c) Cauchy准则把定义中与a的之差换成与之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.

　例：如数列满足（）且，证明数列收敛.

　证明：令

　，（不妨设），取，则当时，对任给自然数有 .故由收敛准则知数列收敛.

　例：证明数列 发散

　证明：要证：，对，必有，使得

　 设则

　 因此，如，则

　这样，对，不管多大，如取，则，且  ，这说明不是一个数列.

　4、 应用

　 例5 证明:

　任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列

　 收敛.

　其中是中的数.

　证明：

　令 有

　 ……

　例6：

　设

　 试证明数列{收敛.

　关于极限

　 证明留在下节进行.

　例7：

　例8：

　例9：

　 [作业] 教材P38—39

　1，3，5，6，10，11；

　教材P40—41

　 1（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.

　（P38 3（4）提示：考虑用双逼原理可求得）

　附：

　数列单调有界证法欣赏:

　Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.

　证法一

　（ Riemann最先给出这一证法 ） 设 应用二项式展开，得

　 ，

　+

　 注意到

　 且比多一项

　即↗.

　有界.

　综上, 数列{}单调有界.

　证法二

　 ( 利用Bernoulli不等式 )

　 注意到Bernoulli不等式 为正整数 ),

　有

　 由

　利用Bernoulli不等式,有

　 ↗.

　为证{}上方有界, 考虑数列

　可类证↘. 事实上,

　(此处利用了Bernoulli不等式 )

　 ↘.

　显然有

　 有

　即数列{}有上界.

　证法三

　 ( 利用均值不等式 )

　在均值不等式

　中, 令

　 就有

　 即 ↗.

　令

　可仿上证得 时↗, ( 时无意义, 时诸=, 不能用均值不等式. )

　当时,

　由

　 由 ↗

　↘. < 4.

　注:

　以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22.

　证法四

　 ( 仍利用均值不等式 )

　<

　即 ↗.

　有界性证法可参阅上述各证法.

　注:

　证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文

　“均值不等式妙用两则”.

　证法五

　 先证明：对 和正整数，有不等式

　 事实上，

　<

　该不等式又可变形为

　( 为正整数 )

　在此不等式中,

　取

　则有

　 就有

　↗.

　取

　又有

　 对成立，

　又由

　 注:

　这一证法可参阅《The American Mathematical

　Monthly》 1974. Vol 81. №9

　P10—11

　第三章 函数极限

　引

　言

　在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.

　通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势.

　我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即

　;

　或　或.

　研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势.

　此处函数的自变量只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即.但是，如果代之正整数变量而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？

　为此，考虑下列函数:

　类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,

　 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.

　下面，我们就依次讨论这些极限.

　§1函数极限的概念

　教学内容：第三章

　函数极限——§1函数极限的概念

　教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．

　教学要求：掌握当；；；；；时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．

　教学建议：

　本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函

　教学过程：

　 一、时函数的极限

　1、引言

　设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.

　　例如　无限增大时，无限地接近于0；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势.我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数的函数称为“当时有极限”.

　[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.

　2. 时函数极限的定义

　定义1　设为定义在上的函数，为实数.若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以为极限.记作

　或.

　3、 几点注记

　（1） 定义1中作用与数列极限中作用相同，衡量与的接近程度，正数的作用与数列极限定义中相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数n.

　的邻域描述：当时，

　（2） 的几何意义：对，就有和两条直线，形成以为中心线，以为宽的带形区域.“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内.

　如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.

　（3） 现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数，则称当或时时以为极限，分别记作，

　　　　　　或，

　　　　　　或.

　这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：

　 当时，，

　当时，.

　（5）推论：设为定义在上的函数，则

　.

　4．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例

　例1　证明　.

　例2　证明　1）；2）.

　二、时函数的极限

　1、引言

　上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数.

　本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，.现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.

　先看下面几个例子：

　 例1　.（是定义在上的函数，当时，）

　例2　.（是定义在上的函数，当时，）

　例3　.（是定义在上的函数，当时，）

　由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当时，的变化趋势.

　我们称上述的第一类函数为当时以为极限，记作.

　和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？

　作如下分析：

　 “当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数”只要充分接近，函数值和的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了.即对，当时，都有.此即.

　2、时函数极限的定义

　定义2　设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当 趋于时以为极限（或称Ａ为时的极限），记作

　或（.

　3、 函数极限的定义的几点说明：

　 （1）是结论，是条件，即由推出.

　（2）是表示函数与的接近程度的.为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于，必须是任意的.这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了.以便通过寻找，使得当时成立.这即的第二特性——暂时固定性.即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色.也即的第三个特性——多值性；（）

　(3) 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ.它的第一个特性是相应性.即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小.但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的.这即的第二个特性——多值性.

　（4）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”.

　（5）定义中的不等式；.从而定义2，当时，都有，使得.

　（6）定义的几何意义.

　例1． 设，证明：.

　例2． 设，讨论时的极限.

　例3． 证明　1）；2）.

　例4． 证明　.

　例5． 证明　.

　例6． 证明　.

　例7．证明

　.

　证明：

　 注意到，要想它任意小，可任意小，却不能任意小，当时，它必须远离零点.当时，就远离零点了.

　 , 取，则当时, 有.

　例8．

　证明 .

　证明：

　 先设，要证，，要使, 取，则当时，有 ，即 .

　再设，, 要使， 注意到

　，

　只要, 且，取，则当时，有， 即 .

　例9． 验证

　证明：

　例10．验证

　 证明：

　由

　=

　 为使

　 需有

　 为使

　 需有

　 于是, 倘限制

　, 就有

　 练习：1）证明　; 2）证明　.

　三、单侧极限

　1．引言

　有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如

　或函数在某些点仅在其一侧有定义，如

　.

　这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论在时的极限.要在的左右两侧分别讨论.即当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于0时来考察.为此，引进“单侧极限”的概念.

　2．单侧极限的定义

　定义3 设函数在内有定义，为定数.若对任给的，使得当时有, 则称数为函数当趋于时的右极限，记作

　或或.

　类似可给出左极限定义（，，或或）.

　注：右极限与左极限统称为单侧极限.

　3．例子

　例1　讨论函数在的左、右极限.

　例2　讨论在的左、右极限.

　例3　讨论函数在处的单侧极限.

　4．函数极限与的关系.

　定理3.1　.

　证明：

　 必要性，, 由, , 使得当时，有，特别地当时，有，故.

　同理当时，也有, 故.

　充分性，, 由，, 使得当时，有, 又由, , 使得当时，有.

　令, 当时，有，故.

　注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：.还可说明某些函数极限不存在，如由例2知不存在.2），，可能毫无关系，如例2.

　[作业]

　教材P47—48

　2—7.

　§3函数极限存在条件

　教学章节：第三章函数极限——§3函数极限存在条件

　教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性.

　教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路.

　教学重点：海涅定理及柯西准则.

　教学难点：海涅定理及柯西准则运用.

　教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用.

　教学程序：

　 引

　言

　在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务.

　本节的结论只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.

　首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）.

　一、归结原则

　定理1（Heine定理）设在内有定义，存在对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.

　证：必要性 在中任取序列且，要证.

　，由，，使得当时，有.

　对于，由，，使得当时，有，

　于是当时，有，即.

　充分性，如果不然，即时，不以为极限，则，，，使得.

　令，则，使得.对于序列，，，但，显然与条件矛盾.

　判断不存在之方法：在中找到两个序列和都趋向于，两个极限和都存在，但不相等，这实际上是充要条件，充分性的证明用本节定理就行了，必要性的证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我们目前也只用到它的充分性.

　注1 是数列，是数列的极限.所以这个定理把函数的极限归结为数列的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质.

　注2从Heine定理可以得到一个说明不存在的方法，即“若可找到一个数列

　，，使得不存在；”或“找到两个都以为极限的数列，使都存在但不相等，则不存在.

　例1证明不存在.

　证明：令，，, 当然趋于，

　,当然趋于，故当时没极限.

　注3．对于这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当时有：

　 定理2设函数在的某空心邻域内有定义， 对任何以为极限的递减数列，有.

　二、单调有界定理

　相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以这种类型为例叙述如下:

　定理3　设为定义有上的单调有界函数，则右极限存在.

　注：定理3可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若

　（1）在上递增有下界，则存在，且；

　（2）在上递减有上界，则存在，且.

　更一般的有：

　 定理 设在上定义，且单调上升，则存在且等于 .

　证明：

　令, 当集合 有上界时, ，当它无上界时，.

　1）

　, 由上确界定义，,使得,取，

　则当时，由函数单调上升得,再由上确界定义

　,或,即.

　2)

　因集合无上界，对, , 使得.取 ，则当时, 有, 即 .

　类似地我们有:在定义，且单调下降,则, 以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明.

　三函数极限的Cauchy收敛准则

　定理４（Cauchy准则）　设函数在内有定义，存在任给，存在正数，使得对任何有.

　证：(利用极限的定义)设.

　则，（）当时有

　.从而当，时有

　(利用Heine归并原则)设且，由假设，

　，（），只要，

　对此，，当时有 ，

　从而由数列的收敛准则，存在设为设为另一数列，且则同上可得存在设为

　考虑数列易见且

　如上所证，存在，作为的两个子列、必收敛于同一极限，即

　因此由归结原则得 .

　注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意，存在使得.

　例：用Cauchy准则说明不存在.

　证明：

　取

　 例5

　设在[上函数↘.则极限存在,在

　[上有界.(简证,留为作业).

　 综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具.

　[作业]

　教材P55

　1，2，3，4，6.

　提示:

　第1题用反证法,

　第4题用Heine归并原则.