武汉市中等职业学校《数学》上 抽 考 考 点 梳 理 将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素． 一般采用大写英文字母…表示集合，小写英文字母…表示集合的元素． 集合中的元素具有下列特点：互异性、无序性、确定性。不能确定的对象，不能组成集合． 由有限个元素组成的集合叫做有限集．由无限个元素组成的集合叫做无限集．由平面内的点组成的集合叫做平面点集．由数组成的集合叫做数集． 自然数集，记作．正整数集，记作或，整数集，记作．有理数集，记作．实数集，记作． 不含任何元素的集合叫做空集，记作． 元素是集合A的元素，记作（读作“属于A”）， 不是集合A的元素，记作（读作“不属于A”）． 集合中的对象（元素）必须是确定的．对于任何的一个对象，或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者必居其一． 集合的表示法：(1)列举法、(2)描述法。

一般地，如果集合的元素都是集合的元素，那么称集合包含集合，并把集合叫做集合的子集. 将集合包含集合记作或（读作“包含”或“包含于”）． 可以用下图表示出这两个集合之间的包含关系． A B 由子集的定义可知，任何一个集合都是它自身的子集，即． 规定：空集是任何集合的子集，即． 如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集． 一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等． 将集合与集合相等记作． 如果，同时，那么集合的元素都属于集合A，同时集合A的元素都属于集合，因此集合A与集合的元素完全相同，由集合相等的定义知． 一般地，对于两个给定的集合A、B，由集合、的相同元素所组成的集合叫做与的交集，记作,读作“交”． 即． 集合A与集合B的交集可用下图表示为：
由交集定义和上面的例题，可以得到：
对于任意两个集合A，B，都有：（1）；
（2），；

（3）；
（4）如果. 一般地，对于两个给定的集合A、B，由集合、的所有元素所组成的集合叫做与的并集，记作（读作“A并B”）． 即. 集合A与集合B的并集可用图形表示为：
(1) A A A BA BA BA (2) (3) 求两个集合并集的运算叫做并运算． 由并集定义和上面的例题，可以得到：
对于任意的两个集合A与B，都有：
（1）；

（2），；

（3）；

（4）如果，那么． 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． 在研究数集时，常把实数集作为全集． 如果集合是全集U的子集，那么，由U中不属于的所有元素组成的集合叫做在全集U中的补集． 集合在全集U中的补集记作CUA，读作“在U中的补集”．即． 设条件和结论． （1）如果能由条件成立推出结论成立，则说条件是结论的充分条件，记作． （2）如果能由结论成立能推出条件成立，则说条件是结论的必要条件，记作． （3）如果，并且，那么是的充分且必要条件，简称充要条件，记作“”． 实数和数轴上的点一一对应．数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. 对于两个任意的实数a和b，有：
；

；

． 因此，比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可． 不等式的基本性质 性质1 如果，且，那么．（不等式的传递性） 证明 ， ，于是 ，因此． 性质2 如果，那么． 性质3 如果，，那么；

如果，，那么． 一般地，由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点. 下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a、b为任意实数，且）． 区间 集合 区间 集合 区间 集合 R 含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，叫做一元二次不等式． 通过对二次函数图像的观察可以解一元二次不等式．由于当时，不等式两边同时乘以，就可以转化为的情况．下面就的情况研究一元二次不等式的解集． （1）当时，方程有两个不相等的实数解和，一元二次函数的图像与轴有两个交点， (如图（1）所示)．此时，不等式的解集是，不等式的解集是；

（1） （2） （3） （2）当时，方程有两个相等的实数解，一元二次函数的图像与轴只有一个交点（如图（2）所示）．此时，不等式的解集是；
不等式的解集是． （3）当时，方程没有实数解，一元二次函数的图像与轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式的解集是；
不等式的解集是． 当时，一元二次不等式的解集如下表所示：
方程或不等式 解集 表中． 解一元二次不等式的基本步骤是：
（1）判断二次项系数是否为正数，如果不是，那么将不等式两边同时乘以－1；

（2）判断对应方程解的情况，如果有解，求出方程的解；

（3）根据上表写出一元二次不等式的解集． 对任意实数，有 其几何意义是：数轴上表示实数的点到原点的距离． 一般地，不等式（）的解集是；
不等式（）的解集是． 可以通过 “变量替换”的方法求解不等式或（）． 不等式或（）可以通过“变量替换”的方法求解．实际运算中，可以省略变量替换的书写过程． 即 在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值与它对应，那么，把叫做自变量，把叫做的函数． 将上述函数记作．变量叫做自变量，数集D叫做函数的定义域． 当时，函数对应的值叫做函数在点处的函数值．记作. 函数值的集合叫做函数的值域． 函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素． 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性． 设函数在区间内有意义． （1）如图（1）所示，在区间内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的，当时，都有成立．这时把函数叫做区间内的增函数，区间叫做函数的增区间． （2）如图（2）所示，在区间内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的，当时，都有成立．这时函数叫做区间内的减函数，区间叫做函数的减区间． 图（1） 图（2） 如果函数在区间内是增函数（或减函数），那么，就称函数在区间内具有单调性，区间叫做函数的单调区间． 函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着x轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；
若图像下降则函数为减函数． 判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定． 对于图（1），如果沿着y轴对折，那么对折后y轴两侧的图像完全重合．即函数图像上任意一点关于轴的对称点仍然在函数图像上，这时称函数图像关于轴对称；
轴叫做这个函数图像的对称轴． 对于图（2），如果将图像沿着坐标原点旋转180°，旋转前后的图像完全重合．即函数图像上任意一点关于原点的对称点仍然在函数的图像上，这时称函数图像关于坐标原点对称；
原点叫做这个函数图像的对称中心． 图（1） 图（2） 设函数的定义域为数集D，对任意的，都有（即定义域关于坐标原点对称），且 （1）函数的图像关于轴对称，此时称函数为偶函数；

（2） 函数的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数为奇函数． 如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数． 判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：
（1）求出函数的定义域；

（2）判断对任意的是否都有．若存在某个但，则函数肯定是非奇非偶函数；

（3）分别计算出与．若，则函数为偶函数；
若，则函数为奇函数；
若且，则函数为非奇非偶函数． 当然，对于用图像法表示的函数，可以通过对图像对称性的观察判断函数是否具有奇偶性． 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 如前面水费问题中函数的定义域为． 求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，然后再把代入到相应的解析式中进行计算． 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 一般地，如果＞，那么叫做的次方根． （1）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，分别表示为和,其中叫做的次算数根；
零的n次方根是零；
负数的n次方根没有意义． （2）当n为奇数时，实数的n次方根只有一个，记作． 形如()的式子叫做的次根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． 规定：，其中＞1．当为奇数时，；
当为偶数时，． 当有意义，且，＞1时，规定：
这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂． 当、为有理数时，有：；

；

． 可以证明，当、为实数时，上述指数幂运算法则也成立． 一般地，形如 （）的函数叫做幂函数．其中指数为常数，底为自变量． 一般地，幂函数具有如下特征：
(1) 随着指数取不同值，函数的定义域、单调性和奇偶性会发生变化；

(2) 当时，函数图像经过原点(0,0)与点(1,1)；
当时，函数图像不经过原点(0,0)，但经过(1,1)点． 函数中，指数x为自变量，底2为常数． 一般地，形如的函数叫做指数函数，其中底()为常量．指数函数的定义域为，值域为． 利用“描点法”作指数函数y=和y=的图像． 设值列表如下：
X … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y= … 1 2 4 8 … y= … 8 4 2 1 … 以表中的每一组x, y的值为坐标，描出对应的点（x, y）．分别用光滑的曲线依次联结各点，得到函数y=和y=的图像，如下图所示． 观察函数图像发现：
1．函数和y=的图像都在x轴的上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；

2．函数图像都经过（0，1）点；

3．函数y=的图像自左至右呈上升趋势；
函数y=的图像自左至右呈下降趋势． 一般地，指数函数具有下列性质：
(1) 函数的定义域是．值域为；

(2) 函数图像经过点(0,1)，即当时，函数值；

(3) 当时，函数在内是增函数；
当时，函数在内是减函数． 函数解析式可以写成的形式，其中为常数，底a>0且a≠1．函数模型叫做指数模型．当a>1时，叫做指数增长模型；
当0<a<1时，叫做指数衰减模型． 如果，那么 b叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的底，N叫做真数． 形如的式子叫做指数式，形如的式子叫做对数式． 当时 对数的性质：（1）；
（2）；
（3）N >0，即零和负数没有对数． 以10为底的对数叫做常用对数，简记为．如记为． 以无理数e （e=2．71828…，在科学研究和工程计算中被经常使用）为底的对数叫做自然对数，简记为．如记为． 对数的运算法则 法则1：
（M>0，N>0）；

法则2：
（M>0，N>0）；

法则3：
= n（n为整数，M>0）． 一般地，形如的函数叫以为底的对数函数，其中a>0且a≠1．对数函数的定义域为，值域为R． 例如、、都是对数函数． 利用“描点法”作函数和的图像． 函数的定义域为，取x的一些值,列表如下：
x … 1 2 4 … … -2 -1 0 1 2 … … 2 1 0 -1 -2 … 以表中x的值与函数对应的值y为坐标，描出点，用光滑曲线依次联结各点，得到函数的图像；
以表4-6中x的值与函数对应的值y为坐标，描出点，用光滑曲线依次联结各点，得到函数的图像，如上图所示：
观察函数图像发现：
1．函数和的图像都在x轴的右边；
2．图像都经过点；

3．函数的图像自左至右呈上升趋势；
函数的图像自左至右呈下降趋势． 一般地，对数函数( a>0且a≠1)具有下列性质：
（1）函数的定义域是，值域为R；
（2）当时，函数值；

（3）当a>1时，函数在内是增函数；
当0<a<1时，函数在内是减函数． 一条射线由原来的位置，绕着它的端点，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置就形成角．旋转开始位置的射线叫角的始边，终止位置的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点． 规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角． （1） （2） 经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角． 除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母、、、来表示角． 数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）． 如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角． 终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角． 一般地，与角终边相同的角（包括角在内），都可以表示为 的形式． 与角终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为 ｛︱｝． 将圆周的圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制． 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1弧度或1rad．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制． 若圆的半径为，圆心角∠AOB所对的圆弧长为，那么∠AOB的大小就是 ． 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． 由定义知道，角的弧度数的绝对值等于圆弧长与半径的比，即 （rad）． 半径为的圆的周长为，故周角的弧度数为 ． 由此得到两种单位制之间的换算关系：
360°=，即 180°=． 1°= ． 采用弧度制以后，每一个角都对应唯一的一个实数；
反之，每一个实数都对应唯一的一个角．于是，在角的集合与实数集之间，建立起了一一对应的关系． a x y P(x,y) O r M 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；
；
． 三角函数 定义域 R R ｛︱｝ 当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数． + + - - x y + + - -° + + - - x x y y sina cosa tana 任意角的三角函数值的正负号如下图所示． 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 不存在 0 不存在 0 同角三角函数的基本关系：
， ． 诱导公式 即当时，有 以上公式统称为诱导公式（或简化公式）．这些公式的正负号可以用口诀：“加全为正，负角余弦正，减正弦正，加正切弦正”来记忆．利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． 对于函数，如果存在一个不为零的常数，当取定义域内的每一个值时,都有,并且等式成立，那么，函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的一个周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是． 的图像叫做正弦曲线．（见教材） 正弦函数的定义域是实数集．由正弦曲线可以看出正弦函数的主要性质：
（1）值域：
观察图发现，正弦曲线夹在两条直线和之间，即对任意的角，都有成立．由此知正弦函数的值域为． 当时, y取最大值，；

当时, y取最小值，． （2）周期性：是周期为的周期函数． （3）奇偶性：是奇函数． （4）单调性：在每一个区间()上都是增函数,其函数值由−1增大到1；
正弦函数在每一个区间()上都是减函数,其函数值由1减小到−1． 观察发现，正弦函数在上的图像中有五个关键点：, , , , ． 描出这五个点后，正弦函数,的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在上的简图．这种作图方法叫做“五点法”． 余弦函数的定义域是．由于对恒有并且，可知余弦函数是周期函数，其周期是． 用“描点法”作出余弦函数在上的图像． 将函数的图像向左或向右平移，，，,就得到余弦函数的图像（见教材）．这个图像叫做余弦曲线． 余弦函数的定义域是实数集R，余弦函数有如下性质：
⑴ 是有界函数，其值域为．当时, ；
当时, ． ⑵ 是周期为的函数． ⑶ 是偶函数． ⑷ 在区间内是增函数，函数值从增加到；
在区间内是减函数，函数值从减少到．