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14-15届,中考数学平面几何经典题
2020-10-12 00:10:57 ℃1. (2014江苏南京)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E做EF∥AB,交BC于点F.(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形,为什么? 2. (2014江苏南京) [问题提出] 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”,“ASA”,“AAS”,“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. [初步思考] 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. [深入探究] 第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF. (1)如图①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据________,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF. (2)如图②,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角.求证:△ABC≌△DEF. 第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等. (3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹). (4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接填写结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,若________,则△ABC≌△DEF. 3. (2014江苏苏州)如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为( )。
4. (2014江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF. (1)求证:△BCD≌△FCE;
(2)若EF∥CD,求∠BDC的度数. 6. (2014江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC、AB上,且DE∥AB,EF∥AC. (1)求证:BE=AF;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积. 7. (2014江苏无锡)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,若AD=6,DE=5,则CD的长等于________. 8. (2014江苏无锡)如图,□ABCD中,AE⊥BD于E,∠EAC=30°,AE=3,则AC的长等于________. 9. (2014江苏无锡)如图,已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC为对角线作□ABCD,若,则□ABCD面积的最大值为________. 10. (2014江苏无锡)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是________. 11. (2014江苏徐州)如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,∠A=50°,折叠该纸片,使点A落在点B处,折痕为DE,则∠CBE=________°. 12. (2014江苏徐州)已知:如图,在□ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.求证:四边形BEDF是平行四边形. 13. (2014江苏扬州)如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M、N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( ) 14.(2014江苏扬州)如图,△ABC的中位线DE=5cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A、F两点间的距离是8cm,则△ABC的面积为________cm2. 15. (2014江苏扬州)如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线AB平移至△FEG,DE、FG相交于点H. (1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:四边形CBEG是正方形. 16. (2014江苏扬州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处. (1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA. ①求证:△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1︰4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰巧是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;
若不变,求出线段EF的长度. 17. (2014江苏南通)如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为( ) 18. (2014江苏南通)如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,连接AC,∠DAC=∠BAC.若BC=4cm,AD=5cm,则AB=________cm. 19. (2014江苏南通)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M作MG⊥EM,交直线BC于G. (1)若M为边AD中点,求证:△EFG是等腰三角形;
(2)若点G与点C重合,求线段MG的长;
(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值. 20. (2014江苏盐城)如图,在矩形ABCD中,,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′,点C′落在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积是________. 21. (2014江苏盐城)如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn,则Sn的值为________.(用含n的代数式表示,n为正整数) 22. (2014江苏盐城)[问题情境]张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图 ①,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF. 小军的证明思路是:如图 ②,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF. 小俊的证明思路是:如图②,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF. [变式探究]如图 ③,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD-PE=CF;
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:[结论运用]如图 ④,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;
[迁移拓展]图 ⑤是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为D、C,且AD•CE=DE•BC,dm,AD=3dm,dm.M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN,求△DEM与△CEN的周长之和. 23. (2014江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为________. 24. (2014江苏淮安)如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒. (1)当t=________时,△PQR的边QR经过点B;
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值. 25. (2014江苏宿迁)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是( ) 26. (2014江苏宿迁)如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC的最小值是________. 27. (2014江苏宿迁)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若BD=4,CD=2,则AB的长是________. 28. (2014江苏宿迁)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高. (1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)求证:∠DHF=∠DEF. 29. (2014江苏宿迁)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=4cm,CD=5cm.动点P从点B开始沿折线BC-CD-DA以1cm/s的速度运动到点A.设点P运动的时间为t(s),△PAB面积为S(cm2). (1)当t=2时,求S的值;
(2)当点P在边DA上运动时,求S关于t的函数表达式;
(3)当S=12时,求t的值. 30. (2014江苏宿迁)如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N. (1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由. 31. (2014江苏常州)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D在y轴上,点E在x轴上,在△ABC中,点A,C在x轴上,AC=5.∠ACB+∠ODE=180°,∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图(保留作图痕迹):
(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN(其中点D的对应点为点M,点E的对应点为点N),画出△OMN;
(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′(其中点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′),使得B′C′与(1)中的△OMN的边NM重合;
(3)求OE的长. 32. (江苏泰州)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是( ) 34. (江苏泰州)如图,△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为________. 35. (江苏泰州)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为________. 36. (2015·泰州中考)如图所示,正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH. (1)求证:四边形EFGH是正方形. (2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由. (3)求四边形EFGH面积的最小值. 37. (江苏淮安)将一副三角尺按如图所示的方式放置,使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,则∠1的度数是________°. 38. (江苏淮安)已知:如图,在矩形ABCD中,点E、F在边AD上,且AE=DF.求证:BF=CE. 39. (江苏淮安)阅读理解:如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE、CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB′、FD′相交于点O. 简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是________;
(2)当图③中∠BCD=120°时,∠AEB′=________°;
(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有________个(包含四边形ABCD).拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB′,请探求∠AB′E的度数,并说明理由. 40. (江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动;
同时,动点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动.过线段MN的中点G作边AB的垂线,垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM、PN.当点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动,设运动时间为t秒. (1)当t=________秒时,动点M、N相遇;
(2)设△PMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)取线段PM的中点K,连接KA、KC.在整个运动过程中,△KAC的面积是否变化?若变化,直接写出它的最大值和最小值;
若不变化,请说明理由. 41. (镇江)如图,△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等的等腰三角形,AB=AC=3cm,BC=2cm.将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1,连结AC1、BD1.如果四边形ABD1C1是矩形,那么平移的距离为________cm. 42. (镇江)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别延长OA、OC到点E、F,使AE=CF,依次连结B、F、D、E各点. (1)求证:△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=50°,则当∠EBA=________°时,四边形BFDE是正方形. 43. (2015·镇江中考)某兴趣小组开展课外活动.如图,A,B两地相距12米,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续按原速行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为1.2米,然后他将速度提高到原来的1.5倍,再行走2秒到达点H,此时他(GH)在一灯光下的影长为BH(点C,E,G在一条直线上). (1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法);
(2)求小明原来的速度. 44. (江苏南通)如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC=________度. 45. (2015·南通中考)如图,在ꎬABCD中,点E,F分别在AB,DC上,且ED⊥DB,FB⊥BD. (1)求证:△AED≌△CFB. (2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:DA=DF. 46. (江苏南通)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC=9,点P,Q分别在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0<x<3).把△PCQ绕点P旋转,得到△PDE,点D落在线段PQ上. (1)求证:PQ∥AB;
(2)若点D在∠BAC的平分线上,求CP的长;
(3)若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T,且12≤T≤16,求x的取值范围. 47. 如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF,∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H. (1)求证:四边形EGFH是矩形. (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP是菱形.请在下表中补全他的证明思路.小明的证明思路 由AB∥CD,MN∥EP,PQ∥EF,易证四边形MNQP是平行四边形.要证□MNQP是菱形,只要证NM=NQ.由已知条件________,MN∥EF,可证NG=NF,故只要证GM=FQ,即证△MGE≌△QFH.易证________,________,故只要证∠MGE=∠QFH.易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,________,即可得证. 48. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3) 49. (苏州)如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为________. 50. (2015·苏州中考)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为__________. 51. (苏州)如图,在矩形ABCD中,AD=acm,AB=bcm(a>b>4),半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切.现有动点P从点A出发,在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动,当点P到达点D时停止移动;
⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移,移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回,当⊙O回到出发时的位置(即再次与AB相切)时停止移动.已知点P与⊙O同时开始移动,同时停止移动(即同时到达各自的终止位置). (1)如图(1),点P从A→B→C→D,全程共移动了________cm(用含a、b的代数式表示);
(2)如图(1),已知点P从A点出发,移动2s到达B点,继续移动3s,到达BC的中点.若点P与⊙O的移动速度相等,求在这5s时间内圆心O移动的距离;
(3)如图(2),已知a=20,b=10.是否存在如下情形:当⊙O到达⊙O1的位置时(此时圆心O1在矩形对角线BD上),DP与⊙O1恰好相切?请说明理由. 52. (2015·江苏连云港)在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是__________. 53. (2015连云港)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为________. 54. (2015·连云港中考)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点C落在点F处,DF交AB于点E. (1)求证:∠EDB=∠EBD. (2)判断AF与DB是否平行,并说明理由. 55. (2015连云港)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动.将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上. (1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由. (2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长. (3)如图3,若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由. 56. (常州)将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是( ) 57. (2015常州)如图,在□ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是正三角形. (1)求证:AE=AF;
(2)求∠EAF的度数. 58. (常州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°. (1)若AD=2,求AB;
(2)若,求AB. 59. (扬州)如图,已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点,若矩形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成∠1、∠2,则∠2-∠1=________. 60. (扬州)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF=________. 61. (2015·扬州中考)如图,已知△ABC的三边长为a、b、c,且a<b<c,若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分.设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系是_______(用“<”号连接). 62. (2015·扬州中考)如图,将□ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,直线l交CD边于点E,连接BE. (1)求证:四边形BCED′是平行四边形. (2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2. 63. (徐州)如图,菱形中,对角线AC、BD交于点O,E为AD的中点,菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于( ) 64. (徐州)如图,在△ABC中,∠C=31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A=________°. 65. (徐州)如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为________. 66. (徐州)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC. (1)求证:四边形BFCE是平行四边形;
(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,则EB=________时,四边形BFCE是菱形. 67. (2015盐城)设△ABC的面积为1,如图①将边BC、AC分别2等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;
如图②将边BC、AC分别3等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;
…,依此类推,则Sn可表示为________.(用含n的代数式表示,其中n为正整数) 68. (盐城)如图,把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中,使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上.已知EP=FP=4,,∠BAD=60°,且. (1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=6,求AE+AF的值;
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值. 69. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F. (1)求证:四边形BDFC是平行四边形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.
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