2020年高考必刷卷（新课标卷）03 数学（理） （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，，，则集合等于　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出A与B的并集，根据全集U＝R，求出并集的补集即可． 【详解】 全集，，，或，则， 故选：D． 【点睛】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．若复数，，则下列结论错误的是（ ） A．是实数 B．是纯虚数 C． D． 【答案】D 【解析】 分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项. 详解：，是实数，故A正确， ，是纯虚数，故B正确， ，，故C正确，，所以D项不正确，故选D. 点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果. 3．已知，则下列结论中不正确的是（　　） A．m＞n＞1 B．n＞1＞m＞0 C．1＞n＞m＞0 D．1＞m＞n＞0 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简原不等式为，再对分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得， 所以， 当时， 所以,所以选项A正确；

当时， 所以，所以选项D正确；

当时，不等式显然成立，所以选项B正确；

当时，不等式显然不成立.所以选项C不正确. 故选：C 【点睛】 本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】 水费开支占总开支的百分比为. 故选：A 【点睛】 本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 5．已知fx是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（ ） A．1 B．0 C．1 D．2019 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0， 将其相加即可得答案． 【详解】 根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（x+2）， 又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4） 则函数f（x）为周期为4的周期函数， 又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1， f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1， 又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；

故选：B． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题． 6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（ ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本不等式求x+y的最大值得解. 【详解】 由题得2x+2y≥22x⋅2y=22x+y,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥22x+y，∴14≥2x+y,∴2-2≥2x+y， 所以x+y≤-2. 所以x+y的最大值为-2. 故选：B 【点睛】 本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列中，则（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为，根据题意，求解，进而可求得，即可得到答案. 【详解】 由题意，设等差数列的公差为， 则，即， 又由，故选D. 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（　　） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．当时，函数的图象与直线围成的封闭图形面积为 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】 解：函数的部分图象，可得A＝2，•，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2•φ，∴φ，f（x）＝2sin（2x）． 令x，求得f（x）＝﹣2，为函数的最小值，故A错误；

令x，求得f（x）＝﹣1，不是函数的最值，故B错误；

函数f（2x）＝2sin（4x）的最小正周期为，故C错误；

当时，2x，函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭图形为x、x、y＝2、y＝﹣2构成的矩形的面积的一半， 矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D正确， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题． 9．中，角所对应的边分别为，表示三角形的面积，且满足，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】 在△ABC中，∵S==acsinB，cosB=．代入原式子得到，tanB=，∵B∈（0，π）， ∴B= ． 故答案为B． 10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为(　　) A．e1<e2<e3<e4 B．e2<e1<e3<e4 C．e1<e2<e4<e3 D．e2<e1<e4<e3 【答案】C 【解析】 试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a1、a2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a3、a4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案． 解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a1＜a2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a3＜a4 ∴可得到a1＜a2＜a3＜a4故选A． 考点：圆锥曲线的共同特征． 11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积． 【详解】 四棱锥的四个面都是直角三角形， ∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中点O，则O是外接球球心． 由得，又，则，， 所以球表面积为． 故选：C． 【点睛】 本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上． 12．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若，则的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g（x），由g′（x），可得函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g（x）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g（x）， ∴g′（x）， ∵xf′（x）﹣f（x）＜0， ∴g′（x）＜0， ∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f（x）为奇函数， ∴g（x）是偶函数， ∴cg（﹣3）＝g（3）， ∵ag（e），bg（ln2）， ∴g（3）＜g（e）＜g（ln2）， ∴c＜a＜b， 故选D． 【点睛】 本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题． 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．已知向量满足，，的夹角为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先计算，再由展开计算即可得解. 【详解】 由，，的夹角为，得. 所以. 故答案为. 【点睛】 本题主要考查了利用向量的数量积计算向量的模长，属于基础题. 14．已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列的前10项和，则数列的一个通项公式 【答案】 【解析】 试题分析：程序执行过程中的数据变化如下：
不成立，输出，是数列的和，因此数列通项公式为 考点：1．程序框图；
2．数列通项公式 15．已知函数的导函数为， 且 ，则的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 先构造函数设，再分析得到在上是减函数,且，再解不等式得解. 【详解】 设，因为，所以， ，所以在上是减函数,且. 所以的解集即是的解集。所以. 故答案为：
【点睛】 （1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是构造函数设，再分析得到在上是减函数,且. 16．已知是椭圆（）和双曲线（）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为________． 【答案】. 【解析】 【分析】 根据题意，不妨设点在第一象限，那么，根据椭圆与双曲线的定义，得到，，根据余弦定理，整理得到，化为，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】 根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，那么， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为， 根据椭圆与双曲线的定义，有：
，， 解得，， 在中，由余弦定理，可得：
， 即， 整理得， 所以， 又， 所以. 故答案为 【点睛】 本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的相关计算，熟记椭圆与双曲线的定义与简单性质，结合基本不等式，即可求解，属于常考题型. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．记为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式；

（2）记，求满足等式的正整数的值． 【答案】（1）；
（2） 【解析】 【分析】 （1）首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；

（2）先求出，再利用裂项相消法求出数列的和，解出即可． 【详解】 （1）由为数列的前项和，且满足． 当时，，得． 当时，，得， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 则数列的通项公式为． （2）由， 得 由，解得． 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，属于基础题． 18．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． (1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）64 【解析】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC， 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. 因为BC⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PAC. (2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC. 如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝3. 因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(3，0,0)，P(0,1,1)．故CB＝(3，0,0)，CP＝(0,1,1)． 设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1⋅CB=0,n1⋅CP=0所以y1+z1＝0，3x1＝0， 不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为AP＝(0,0,1)，AB＝(3，－1,0)， 设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2⋅AP=0,n2⋅AB=0所以 不妨令x2＝1，则n2＝(1，3，0)．于是cos〈n1，n2〉＝322＝64. 由题图可判断二面角为锐角，所以二面角C－PB－A的余弦值为64. 19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；

(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布N(57，σ2). ①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57kg之间的概率；

②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57kg之间的人数为Y，利用(1)的结论，求Y的分布列. 【答案】（1）.（2）①.②见解析 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率得体重超过的频率为后两个小矩形的面积；
（2）①；

②因为，根据二项分布求概率并列分布列. 【详解】 (1) 这400名学生中，体重超过的频率为， 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率为. (2)①∵，，∴， ∴，∴. 即高一某个学生体重介于54～57 kg之间的概率为 . ②因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验， 其中体重介于之间的人数，，. 所以的分布列为 【点睛】 本题考查正态分布，二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. 20．已知动圆过点且和直线：相切． （1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知点，若过点的直线与轨迹交于，两点，求证：直线，的斜率之和为定值． 【答案】（1）；
（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程；

（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结论． 【详解】 由题意得：圆心到点的距离等于它到直线的距离， 圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设圆心的轨迹方程为（）， ∵， ∴． ∴圆心P的轨迹方程为：；

（2）证明：设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线可得，∴，， ∴， 即直线，的斜率之和为定值． 【点睛】 本题考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系，求轨迹方程常用的方法有直接法、相关点法等，解决直线与圆锥曲线的位置关系常用代数法，属于常考题. 21．已知函数f(x)=x2+(x2-3x)lnx （1）求函数f(x)在x=e处的切线方程 （2）对任意的x)都存在正实数a，使得方程f(x)=a至少有2个实根, 求a的最小值 【答案】（1）(5e-6)x-y-3e2+3e=0（2）1 【解析】 分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；
（2）首先可得是方程的根，只需方程另外至少一个根即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象，可得函数的极值与最值，从而可得的最大值. 详解：(1)f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx k=f/(e)=5e-6切点为：(e,2-3e) 切线方程为：
y-2+3e=(5e-6)(x-e) (5e-6)x-y-3+3e=0 （2）令f/(x)=0 即3x-3+(2x-3)lnx=0 显然x=1是方程的根 而f(x)=2lnx 易知f(x)在（0，）上递增，容易验证f()=3-3e f(1), 存在x1使得f(x1)=0 所以当x1)时，f(x)， f/(x)递减， 当x1，时，f(x)， f(x)递增 且f(x1)(1)=0，又f()=，故存在x2x1)使得f(x2) =0，列出下表：
x (0,x2) x2 (x2,1) 1 (1,) f/(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以f(x)在x=x2处取极大值；
在处取得极小值.因f(1)=1；
x0时f(x) 作出f(x)的示意图可知：
a的最小值为1 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；
（2）由点斜式求得切线方程. （二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为 (t为参数)． (1)若曲线C在点(1,1)处的切线为l，求l的极坐标方程；

(2)若点A的极坐标为，且当参数t∈[0，π]时，过点A的直线m与曲线C有两个不同的交点，试求直线m的斜率的取值范围． 【答案】(1)；

(2) . 【解析】 试题分析：（1）根据极坐标与普通方程直角坐标的转化公式 即可求出切线的极坐标方程；
（2）画出图象，根据数形结合，可以看出切线与割线斜率分别是最小和最大值，利用斜率坐标公式即可求出． 试题解析：　(1)∵，∴，点在圆上，故切线方程为， ∴ ，l的极坐标方程为；

(2)点A的直角坐标为，设m：， m与半圆 ()相切时，， ∴，∴或 (舍去)． 设点B，则，故直线m的斜率的取值范围为． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数. （I）证明：；

（II）求不等式的解集. 【答案】（1）见解析；

（2）。

【解析】 【分析】 （1）利用绝对值不等式三角不等式可证明出结论成立；

（2）分、、时三种情况，分别解出不等式的解集，再取并集，即可得出答案。

【详解】 （1）由绝对值三角不等式可知，， 即；

（2）当时，， 由，得，该不等式的解集为空集；

当时，， 由，得，解得， 此时，；

当时，， 由，得，解得，此时，。

综上所述，不等式的解集为。

【点睛】 本题考查绝对值不等式的证明、绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式证明不等式，利用零点分段法解绝对值不等式，考查分类讨论思想，属于中等题。

以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念） 然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）        先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

   做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

 主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

  积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

  精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

  配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；
老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

  合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间， 注意事项 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

​ 数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。