1991年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）

　考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．

　一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内

　(1) 已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 (

　) (A) y2=8(x＋1) (B) y2=－8(x＋1) (C) y2=8(x－1)

　(D) y2=－8(x－1) (3) 函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 (

　) (A)

　(B) π (C) 2π (D) 4π (4) P(2，5)关于直线x＋y=0的对称点的坐标是 (

　) (A) (5，2) (B) (2，－5) (C) (－5，－2) (D) (－2，－5) (5) 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 (

　) (A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对 (6) 函数y=sin(2x＋)的图像的一条对称轴的方程是 (

　) (A) x=－ (B) x=－ (C) x= (D) x= (7) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 (

　) (A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心 (8) 已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于 (

　) (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (9) 已知函数y=(x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为 (

　) (A) y=(x∈R，且x≠1) (B) y=(x∈R，且x≠6) (C) y=(x∈R，且x≠－) (D) y=(x∈R，且x≠－5) (10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 (

　) (A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 （D）35种 (11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 (

　) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件 (D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) …(1－)]的值等于 (

　) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

　(13) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C=0不通过 (

　) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (14) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 (

　) (A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5 (15) 圆x2＋2x＋y2＋4y－3=0上到直线x＋y＋1=0的距离为的点共有 (

　) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

　二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． (16) 双曲线以直线x=－1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是__________________． (17) 已知sinx=，则sin2(x－)=____________ (18) 不等式lg(x2＋2x＋2)<1的解集是_____________ (19) 在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1，那么a=_____________ (20) 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ=_________

　三、解答题：本大题共6小题；共60分． (21) (本小题满分8分) 求函数y=sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值． (22) (本小题满分8分) 已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值． (23) (本小题满分10分) 如图，在三棱台A1B1C1－ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A= A1B1= B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45º，求这个棱台的体积． (24) (本小题满分10分)

　设{an}是等差数列，bn=()an．已知b1＋b2＋b3=, b1b2b3=．求等差数列的通项an． (25) (本小题满分12分) 设a>0，a≠1，解关于x的不等式 (26) (本小题满分12分) 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．

　1991年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准

　说明：

　一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则． 二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分． 三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤． 四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 五．只给整数分数．

　一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分． (1)A

　(2)D

　(3)B

　(4)C

　(5)B

　(6)A

　(7)D

　(8)A

　(9)B

　(10)C

　(11)A

　(12)C

　(13)C

　(14)B

　(15)C

　二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分． (16) (－2，2)

　 (17) 2－

　(18) {x|－4<x<2}

　 (19) 1+

　 (20) 2

　三．解答题 (21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分． 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x＋cos2x)+2sinxcosx+2cos2x

　 ——2分 =1+sin2x+(1＋cos2x)

　 ——4分 =2+sin2x+cos2x =2+sin(2x+)．

　 ——6分 当sin(2x+)=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+．

　——8分 注：没有说明“当sin(2x+)=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分． (22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分． 解：= =

　——2分 =1－i．

　——4分 1－i的模r==．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切 tgθ=－1，所以辐角的主值θ=π．

　 ——8分 (23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分． 解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC．又BC⊥BB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB． ∴ △ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角， ∠ABB1=45º．

　 ——3分 作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC． ∵ Rt△B1DB中∠DBB1=45º， ∴ DB=DB1=AA1=a，

　∴AB=2a．

　 ——6分 由于棱台的两个底面相似，故 Rt△ABC∽Rt△A1B1C1． ∵ B1C1=A1B1=a，AB=2a， ∴ BC=2a． ∴ S上=A1B1×B1C1=． S下=AB×BC=2a2．

　——8分 V棱台=·A1A· =·a·

　 ——10分 (24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分10分． 解

　设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n－1)d． ∴

　b1b3=·==． 由 b1b2b3=，得=， 解得 b2=．

　——3分 代入已知条件

　整理得

　解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2

　 ——6分 ∴ a1=－1，d=2或a1=3，d=－2．

　 ——8分 所以，当a1=－1，d=2时

　an=a1+(n－1)d=2n－3． 当a1=3，d=－2时 an=a1+(n－1)d=5－2n．

　 ——10分 (25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一

　原不等式可写成

　．

　 ①

　——1分 根据指数函数性质，分为两种情形讨论：

　(Ⅰ)当0<a<1时，由①式得 x4－2x2+a2<0，

　 ②

　——3分 由于0<a<1时，判别式 △=4－4a2>0, 所以②式等价于 ③ ④

　——5分 解③式得 x<－或x>， 解④式得 －<x<．

　 ——7分 所以，0<a<1时，原不等式的解集为 {x|－<x<－}∪{x|<x<}．

　——8分 (Ⅱ) 当a>1时，由①式得 x4－2x2＋a2>0，

　 ⑤

　——9分 由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为 {x|－∞<x<＋∞}．

　——12分 综合得 当0<a<1时，原不等式的解集为

　 {x|－<x<－}∪{x|<x<}； 当a>1时，原不等式的解集为 {x|－∞<x<＋∞}． 解法二

　原不等式可写成

　．

　 ①

　 ——1分 (Ⅰ) 当0<a<1时，由①式得 x4－2x2＋a2<0，

　②

　 ——3分 分解因式得

　(x2－1＋)(x2－1－)<0．

　③ ④ ⑤ 即

　 ⑥⑦ 或

　 ——5分 解由④、⑤组成的不等式组得 －<x<－． 或

　<x<

　．

　 ——7分 由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a<1时，原不等式的解集为 {x|－<x<－}∪{x|<x<}；

　 ——8分 (Ⅱ) 当a>1时，由①式得 x4－2x2＋a2>0，

　 ⑧

　 ——9分 配方得

　(x2－1)2＋a2－1>0，

　 ⑨ 对任意实数x，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为 {x|－∞<x<＋∞}．

　 ——12分 综合得 当0<a<1时，原不等式的解集为

　 {x|－<x<－}∪{x|<x<}； 当a>1时，原不等式的解集为

　{x|－∞<x<＋∞}． (26) 本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分． 解法一

　设所求椭圆方程为

　依题意知，点P、Q的坐标满足方程组 ①

　②

　将②式代入①式，整理得 (a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0,

　③

　 ——2分 设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为 P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)．

　 ——3分 由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得

　整理得 ④ ⑤

　 ——6分 解这个方程组，得

　 或

　 根据根与系数的关系，由③式得 (Ⅰ)

　或

　(Ⅱ)

　——10分 解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得

　 或

　 故所求椭圆的方程为 ，

　或

　 ——12分 解法二

　同解法一得 (a2+b2)x2+2a2x+a2(1－b2)=0，

　 ③

　——2分 解方程③得 ．

　 ④

　 ——4分 则直线y=x+1与椭圆的交点为 P (x1，x1+1)，Q (x2，x2+1)． 由题设OP⊥OQ，得