数值分析第二次作业 学院：电子工程学院 基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组 求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为[2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947/895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244]. 要求：1）Gauss_Sedel迭代法；

2）最速下降法；

3）共轭梯度法；

4）将结果进行分析对比。

解：根据题目要求，编写了对应算法的matlab程序，求解结果如下：（求解精度为10e-4，最大迭代次数1000） 1、 方程的解：如下图1所示 图1 三种方法求解的结果对比 图2 Gause_Sedel算法收敛特性 图3 最速下降法收敛特性 图3 共轭梯度法收敛特性 从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共轭梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.000454秒，而且求出解的精度最高；
Gauss_Sedel方法需要465次迭代，耗时0.006779秒，求解精度最差；
最速下降法需要398次迭代，耗时0.007595秒，求解精度与共轭梯度算法差不多，因此两者求出的解也几乎相同。从中可以得出结论，共轭梯度算法无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上几乎与共轭梯度算法持平，但求解速度更慢。Gauss_Sedel方法在求解精度和速度两方面都最差。

具体的解为: Gauss_Sedel迭代法: (共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5) X=[0.995328360833192 1.01431732497804 1.05286123930011 0.934006974137998 0.931493373808838 0.966508138403066 1.00661848511341 1.03799789809258 1.05180690303654 1.06215849948572 1.04857676431223 1.02856199041113 1.01999170162638 0.971831831519515 0.952526166634813 0.916996019179182]. 最速下降法: (共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5) X=[0.998835379744322 1.01507463472900 0.982589093720185 0.980191460759243 0.991245169713628 1.00378022225329 1.01350884374478 1.01928337905816 1.02085909665194 1.01930314197028 1.01444777381651 1.00704058989297 0.998384452250809 0.987399404644377 0.975767814970912 0.963209150871750]. 共轭梯度法: (共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5) X=[ 0.996472751179456 1.02707840189049 0.977623373409853 0.973206695321590 0.986133032967607 1.00128902564234 1.01322158496914 1.02047386502293 1.02300905060565 1.02163015083975 1.01678089454399 1.00920310863874 0.999772406055155 0.988443827498859 0.976094192496949 0.962844741655005]. Matlab程序 主程序: clc;clear; %% 本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析并比较，也可推广至任意n维的矩阵方程 %% A=hilb(16); %生成希尔伯特系数矩阵 b=[2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;1669/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244]; %右端向量 M=1000; %最大迭代次数 err=1.0e-4; %求解精度 [x,n,xx,cc,jingdu]=yakebi_diedai(A,b,err,M); % 雅克比算法求解 tic; [x1,n1,xx1,cc1,jingdu1]=gauss_seidel(A,b,err,M); % gauss_seidel算法求解 toc; tic; [x2,n2,xx2,jingdu2]=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M); % 最速下降法求解 toc; tic; [x3,flag,jingdu3,n3]=bicg(A,b,err); % matlab内置双共轭梯度算法求解 toc; tic; [x4,xx4,n4,jingdu4]=con_grad(A,b,err,M); % 教材共轭梯度算法求解 toc; %% 计算相应结果，用于作图 %% num=[1:16]＇; jie=[num,x1,x2,x4]; % 三者的解对比 % 三者的收敛情况对比 num1=[1:n1]＇; fit1=[num1,jingdu1＇]; num2=[1:n2]＇; fit2=[num2,jingdu2＇]; num4=[1:n4]＇; fit4=[num4,jingdu4＇]; 子函数1(Gause_Sedel算法): function [x,n,xx,cc,jingdu] = gauss_seidel(A,b,err,M) % 利用迭代方法求解矩阵方程 这里是高斯赛尔得迭代方法 % A 为系数矩阵 b 为右端向量 err为精度大小 返回求解所得向量x及迭代次数 % M 为最大迭代次数 cc 迭代矩阵普半径 jingdu 求解过程的精度 n 所需迭代次数 xx 存储求解过程中每次迭代产生的解 for ii=1:length(b) if A(ii,ii)==0 x=＇error＇; break; end end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=(D-L)＼U; cc=vrho(B); %迭代矩阵普半径 FG=(D-L)＼b; x0=zeros(length(b),1); x=B*x0+FG; k=0; xx(:,1)=x; while norm(A*x-b)>err x0=x; x=B*x0+FG; k=k+1; xx(:,k+1)=x; if k>=M disp(＇迭代次数太多可能不收敛！＇); break; end n=k; jingdu(k)=norm(A*x-b); end end 子函数2(最速下降算法): function [x,n,xx,jingdu]=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M) % 利用迭代方法求解矩阵方程 这里是最速下降迭代方法 % A 为系数矩阵 b 为右端向量 err为精度大小 返回求解所得向量x及迭代次数 % % M 为最大迭代次数 jingdu 求解过程的精度 n 所需迭代次数 xx 存储求解过程中每次迭代产生的解 x0=zeros(length(b),1); r0=b-A*x0; t0=r0＇*r0/(r0＇*A*r0); x=x0+t0*r0; r=b-A*x; xx(:,1)=x; k=0; while norm(r)>eps r=r; x=x; t=r＇*r/(r＇*A*r); x=x+t*r; r=b-A*x; k=k+1; xx(:,k+1)=x; if k>=M disp(＇迭代次数太多可能不收敛！＇); break; end n=k; jingdu(k)=norm(r); end end 子函31(共轭梯度法): function [x,xx,n,jingdu]=con_grad(A,b,eps,M) % 利用迭代方法求解矩阵方程 这里是共轭梯度迭代方法 % A 为系数矩阵 b 为右端向量 err为精度大小 返回求解所得向量x及迭代次数 % M 为最大迭代次数 jingdu 求解过程的精度 n 所需迭代次数 xx 存储求解过程中每次迭代产生的解 x0=zeros(length(b),1); r0=b-A*x0; p0=r0; % t0=r0＇*r0/(r0＇*A*r0); % x=x0+t0*r0; % r=b-A*x; % xx(:,1)=x; k=0; x=x0; r=r0; p=p0; while norm(r)>eps x=x; r=r; p=p; afa=r＇*r/(p＇*A*p); x1=x+afa*p; r1=r-afa*A*p; beta=r1＇*r1/(r＇*r); p1=r1+beta*p; x=x1; r=r1; p=p1; k=k+1; xx(:,k)=x; if k>=M disp(＇迭代次数太多可能不收敛！＇); break; end n=k; jingdu(k)=norm(r); end end